К началу страницы
Связь между базисами.
Пусть
в некотором базисе n-мерного
векторного пространства заданы две
линейно независимые системы
векторов
и
то
есть, они тоже являются базисами этого
пространства.
Если 
-
координаты вектора 
в
базисе
,
то связь координат 
и
задается
системой линейных уравнений (об этом
мы говорили в предыдущем пункте):
,
которая в матричной форме может быть
записана как
Аналогично
для вектора 
мы
можем записать
Действуя
дальше аналогично, получим
Предыдущие
матричные равенства можно объединить
в одно, которое по сути задает связь
векторов двух различных базисов
Аналогично
мы можем выразить все векторы базиса
через
базис 
:
Определение.
Матрицу 
называют матрицей
перехода от базиса
к
базису
,
а
матрицу 
- матрицей
перехода от базиса
к
базису
.
Из
двух последних равенств видно,
что
следовательно,
матрицы перехода являются взаимно
обратными.
Разберем пример.
Пример.
Найдите
матрицу перехода от базиса 
к
базису
,
а также укажите связь координат
произвольного вектора x в
этих базисах.
Решение.
Пусть T –
матрица перехода от базиса 
к
базису
,
тогда справедливо равенство
Умножив
обе части этого равенства справа
на
получим
Найдем
матрицу перехода, при этом не будем
подробно останавливаться на нахождении
обратной матрицы и умножении матриц
(смотрите при необходимости статьи нахождение
обратной матрицы и операции
над матрицами):
Осталось выяснить связь координат вектора x в заданных базисах.
Пусть
в базисе
вектор x имеет
координаты 
,
тогда
а
в базисе
вектор x имеет
координаты 
,
тогда
Так
как левые части последних двух равенств
одинаковы, то мы можем приравнять правые
части:
Если
умножить обе части справа на
то
получим
С
другой стороны
(найдите
обратную матрицу самостоятельно).
Два
последних равенства дают нам искомую
связь координат вектора x в
базисах
и
.
Ответ:
матрица
перехода от базиса
к
базису
имеет
вид
;
координаты
вектора x в
базисах
и
связаны
соотношениями
или
.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятия размерности и базиса векторного пространства, научились раскладывать вектор по базису и обнаружили связь между разными базисами n-мерного пространства векторов через матрицу перехода.
Поделиться…
К началу страницы
Поделитесь с друзьями
Я.руВКонтактеОдноклассникиTwitterFacebookМой МирLiveJournalGoogle PlusЯндекс