38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.

оно дополняется нач условием

-известные функции l – длина стержня T – верхние граница временного промежутка - искомое решение температура в точке x стержне в момент времени t

1) создадим сетку [0,l] :n [0,t]:m t_j=jτ,

Неявная схема.

Произвольные внутренние точки мы заменим следующим образом

количество уравнение вида (7) равно количеству внутренних узловых точек m(n-1) преобразуем уравнение, введем в рассмотрение Шаблон

Уравнение (9) содержит 3 значения искомого решение из j-го слоя, поэтому нельзя явно выразить искомое решение через известное значение. Для нахождения искомого решения на j слоя необходимо решить систему уравнений поэтому Даная схема называется не явной схемой

Краевые условия (2),(3),(4) заменим соответствующим дискретными аналогоми. В эти условия производные не входят поэтому они не заменяются точно через значения функции в результате получаем полную систему уравнений для произвольного слоя, с помощью условий (12) (13) запишем уравнение (10) в близи левой границы и правой границы i=1

Тогда в ур-ие (10)

Для произвольного j-го слоя системы (16)

Система Ур-ий с 3х диагональной матрицей эффективно решается методом прогонки.

1+2r, >0

Найдем сумму модулей недиагональных элементов:

1+2r>r+r;

1+2r>2r для любых r (17)

Матрица системы имеет диагональное преобладание при любом r. Поэтому матрица системы (16) яв-ся невырожденной, т.е. определитель не равен 0. Это означает, что система (16) однозначна разрешима при любом r. (одно решение). Таким образом имеет место своство:

Неявная схема всегда устойчива и имеет единственное решение при любом r. Это свойство позволяет проводить вычисления на крупных сетках. В явной схеме , здесь r-произвольно.

Алгоритм реализации неявной схемы.

1) Сначала рассчитаем искомое решение на начальном слое левой и правой границе. С помощью формул (11,12,13).

2) j=1

3) решается система (16) методом прогонки.

4) j=j+1

5)Если , то идти к пункту 3, иначе идти к пункту 6.

6) вывод полученных результатов.

41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных

Диф. уравнения часто используется при моделирования технологических процессов различных физических явлений и т.д. Для однозначного определения процесса к этим уравнениям необходимо присоединить дополнительное условие. Математически это связано с тем что при интегрировании диф. уравнения явл-ся константа интегрирования. Для определения этих констант как раз нужны эти дополнительные условия. Дополнительные условия называют краевыми условиями. Краевые условия делятся на начальные и граничные условия. Начальные условие определяют искомое решение в некоторый начальный момент времени. При t=t₀

Граничное условие определяют поведение искомого решения на границе области. В свою очередь они могут быть одного из трех видов :

1) Граничное условие первого рода.

Пусть для определенности искомое решение яв-ся функцией от двух переменных U=U(x,y).

Д – внутренняя область.

Г – граница области

Математически граничное условие первого рода записывается в виде , здесь -известная функция. В частности она может быть константой. Другими словами в этом случае известны значения искомого решения на границе области

2. Граничные условия 2 рода

Математически запишется следующим образом

n-нормаль к границе, нормальный вектор

Другими словами на границе области известны значения производного по нормали.

3. Граничное условие III рода.

Математическая запись

В этом случае задана минимальная комбинация значений искомого решения производной по нормали на границе области. -константа. Эти граничные условия представляют собой граничное условие более общего вида .Предыдущее условие 1,2 рода могут быть получены как частные случаи условие 3 рода. Если положим , получим первого рода. получим условие второго рода. В соответствии с существующей классификацией различают следующие краевые задачи.

1 задача с начальными условиями (задача Коши).

Граничное условие полностью отсутствует. Обычно начальное условие присутствует в не стационарных краевых задачах.

2. задача с граничными условиями.

При этом граничное условие могут быть одного из 3х рассматриваемых видов. Например, если рассматривается диф уравнение, то к нему могут быть поставлены различные граничные условия Оператор Лапласа

Если к этому уравнению ставиться граничные условия первого рода, то краевую задачу называют задачей Дирихле - Задача Дирихле. Если известна производная по нормали, то эта задача Неймана. - закон Неймана. Смешанная краевая задача. В такой задаче одновременно присутствуют начальные и граничные условия, то есть эта задача является более общей краевой задачей.