Вопрос 10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Прямые итерационные методы решения слау.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n независимыми

Введем в рассмотрение квадратную матрицу А . Тогда система (1) Может быть записана в матричной форме Необходимые и достаточные условия существования и единственности решения системы линейных уравнений определитель det(А) (2). Существующий метод решения СЛАУ условно можно разделить на две большие группы

1)Прямые методы (точные методы)

2)Итерационные методы

1)Прямые методы. Прямые методы позволяют найти решение системы в виде точных формул относительно коэффициентов исходной системы, поэтому такие методы называют ещё точными однако на практике точные решения получаются редко. Это связано с погрешностями округления. Прямые методы достаточно универсальны и применяются для решения линейных систем, возникающих на практике. Представители первой группы: Метод Гауса метод Крамера, метод прогонки.

2) Итерационные методы.

При использовании итерационного метода вычисления организуются следующим образом: сначала создается такое начальное приближение или начальный вектор , затем используется один шаг алгоритмов методов находят следующее приближение затем к полученному приближению опять применяют алгоритм методов, находят , таким образом, вычисления продолжают до тех пор пока не будут найдены 2 приближения , , Совпадающие в определенном смысле. При достижении заданной точности за решение принимают последнее приближение . Итерационные методы обладают Хорошим свойством. Свойством Самоисправляемости . Некоторые представители: метод итерационный, метод Зэйделя, метод релаксации,…

Матрицы с диагональным преобладанием.

Пусть дана Квадратичная матрица состоящая из n-строк и n столбцов, Введем в рассмотрение . Определение- Говорят что матрица А является матрицей с диагональным преобладанием если величины r_i>0(i=1,n) Другими словами для такой матрицы диагональный элемент по модулю превышает сумму других модулей не диагональных элементов. Утверждение Матрица с диагональным преобладанием не выражена (ее определитель не равен 0) Доказательство: Докажем методом от противного пусть матрица А имеет Диагональное преобладание и ее определитель равен 0 тогда система имеет не нулевое решение т.е. вектор содержит не нулевые компоненты. Т.е. существует х_i не равное 0. Пусть х_к такое, что . Рассмотрим к-ую строку или к-ое уравнение системы (5) выразим из этого уравнения к-ое слагаемое через все остальные

Разделим на x_k , а это противоречит тому что матрица А имеет диагональное преобладание чтд. - закон контрпозиции.

Прямые методы решения СЛАУ Метод Гаусса

М етод состоит из прямого хода и обратного.

Задача прямого хода приведение матрицы системы к треугольному виду, ниже главной диагонали нули.

В приобразованой системе содержится в последнем лишь одно неизвестное х_n

Вопрос 11.Слау с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки.

Рассмотрим системы из n линейных уравнений с 3-х диагональной матрицей матрица этой системы является трехдиагональной

Такие системы уравнения часто возникают при решении различных прикладных задач, а так же при численном решении дифференциальных уравнений. Для решения таких систем применяется метод прогонок; он является модификацией метода Гаусса по аналогии с методом Гаусса состоит из прямого хода и обратного. Прямой ход называется прямой прогонкой. Задача прямой прогонки выражение каждого х_i через последующие . P_i, Q_i –называют прогоночными коэффициентами. Задача – прохождение (n-1) пара прогонного коэффициента. Выведем формулы для нахождения этих коэффициентов. Из этого уравнения системы (7) Выразим x₁ через x₂ Запишем уравнение (8) При i=1 (10) сравнивая (9) и (10) получаем (11)

Из (2) система (7) выразим x₂ через x₃ используя при этом уравнение (10)

Запишем уравнение (8) при i = 2 (12) рассуждая аналитическим образом легко вывести формулы для произвольной i-ой пары.

(13) задача обратной прогонки- нахождение всех неизвестных. Сначала найдем x_n, для этого используем последнее уравнение исходной системы и уравнение (8) при i= n-1 где - известно уже.

(14) Остальные неизвестные определяются последовательно по формуле (8) используя значения ранние найденных прогонычных коэффициентов Рассмотренный вариант метода называют еще скалярной прогонкой существует модификации метода прогонки. Имеется вариант для решения системы трехточечных векторных уравнений эту модификацию называют методом матричной прогонки.