5.Базис векторного прост-ва.Разложение вектора по базису.

Опр-е.Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства,наз-ся базисом этого пространства.

Рассм.простр-во R^2:

a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис:

e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен,как линейная комбинация базисных векторов.

Рассм. прост-во R^3:

e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3

Теорема(о разложении вектора по базису):Каждый вектор линейного простр-ва можно представить,и при том единственным образом,в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть a1,a2…an-это вектора,которые образуют базис,это сист. линнезав. векторов.Возьмём некот.вектор x,тогда x,a1,a2…an-линейнозависимы,а значит,по опр-ю,найдутся числа c,c1,c2…cn такие,что cx+c1a1+c2a2+…cnan=0.Разделим обе части равенства на коэф. с и получим:x=(-c1:c)a1+(-c2:c)a2+…+(-cn:c)an. Оно означает,что вектор x есть линейная комбинация базисных векторов.Это равенство наз-ся разложением вектора x по базису a1,a2…an.

6.Теорема о дополнении до базиса.

Пусть векторы a1,a2…an линейного прост-ва размерности W-линнезав.,причем k<n.Тогда в прост-ве W найдутся векторы ak+1,ak+2…an такие,что совокупность векторов a1,a2…ak,ak+1,ak+2…an будет явл-ся базисом прост-ва W.

7.Евклидово прост-во.Отображения.Образ,ядро,дефект отображения.

Линейное векторное прост-во W наз-ся Евклидовым,если любым двум векторам x и y из прост-ва W ставится в соот-е число,называемое скаляр. произ-ем,причём выполняется след.условие:

xy=(x1y)=x1y1+x2y2+…+xnyn

1.xy=yx;2.(x+y)z=xz+yz;3.(^x)y=^(xy);4.x*x>0,если x ненулевой вектор;5.x*x=0,если x нулевой вектор.

Пусть даны Rⁿ₁ Rᵐ₂.

Опред.: Отображением лин.пространства Rⁿ₁ в лин.пространство Rᵐ₂ - наз-ся правило Р~ по которому каждому элементу R₁ ставится в соответствие элемент из пространства R₂.

у=р~(х)

Элементом пространства может быть скаляр,Ю вектор, матрица. Частным случаем отображения явл-ся функция.

Опред.: Отображ-е наз-ся линейным, если для любого элемента х и любого числа λ выполн-ся соотношения:

1. р~(х1+х2)=р~(х1)+р~(х2)

2. р~(λх1)=λр~(х1)

Замеч.: Если каждому вектору х ставится в соответ.вектор у=ԃх (ԃне равна 0), то говорят,что задано отображ-е подобия.

Если матрице Хn*1 (матрица столбец) из пространства Rⁿ*¹ ставится в соответствие матрица столбец Уm*1 из пространства Rᵐ*¹, то задано отобр-е пространства столбцов n*1 в пространство столбцов m*1.

Y m*1 = P m*n *X m*1

Опред.: Линейные отбраж-я р1~, р2~ наз-ся равными, если для любого элемента x из пространства Rᵐ выполняется равенство р1~(х)=р2~(х).

Опред.: Образом imP~ отображения Р~ наз-ся множество всех элементов из пространства Rᵐ для каждого из которых найдется элемент Х из простр. Rⁿ такой, что Р~(х)=у.

Опред.: Рангом лин.отображения наз-ся размерность образа этого отобр-я.

Опред.: Ядром лин.отображения наз-ся множество элем. х принадлеж. простр. R1, каждый из которых отображением Р~ переводится в нулевой элемент пространства Rᵐ.

Опред.: Деффектом лин.отображ-я наз-ся размерность ядра этого отображ-я.