3. Уравнение плоскости

Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку с радиус-вектором . Очевидно, что вектор также будет находиться в заданной плоскости (Рис. 2.6).

Рис. 2.6. Вектор на плоскости

Проведем перпендикуляр к плоскости . Скалярное произведение вектора с эти перпендикуляром будет равно 0: , или, в координатах:

.

( 2.0 )

Преобразуем данное уравнение: раскроем скобки и сгруппируем известные координаты: , обозначив , получим уравнение плоскости в общей форме:

,

( 2.0 )

где – координаты любой точки на плоскости; – координаты фиксированной точки на плоскости; – координаты нормали к плоскости. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то уравнение ( 2.0 ) можно привести к виду:

.

( 2.0 )

Уравнение плоскости в данном виде называется уравнением плоскости в отрезках; в уравнении приняты обозначения: , , ; отрезки отсекаются плоскостью на осях координат.

Итак, плоскость в пространстве, как и прямая на плоскости, задается уравнением первой степени относительно координат. Поэтому говорят, что плоскость есть поверхность первого порядка.

Расстояние от точки до поверхности, заданной формулой ( 2.0 ) определяется по формуле:

,

( 2.0 )

Двугранный угол между плоскостями и совпадает с углом между их нормалями и вычисляется по формуле:

,

( 2.0 )

Для ортогональных плоскостей будет справедливо утверждение: или в координатной форме: .

Для параллельных плоскостей выполняется условие пропорциональности координат нормалей: . В частности, если, кроме того, выполняется условие , то плоскости совпадают.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости в декартовой системе координат.

1. : нормаль к плоскости параллельна оси . Поскольку для нормали имеем и уравнение ( 2.0 ) принимает вид: . В этом случае плоскость параллельна координатной оси .

2. : проводя аналогичные рассуждения, получаем: , плоскость параллельная оси .

3. : , плоскость параллельная оси .

4. : вектор нормали лежит в плоскости , следовательно, плоскость параллельна оси . В этом случае , так как .

5. : , параллельна оси .

6. : , параллельна оси .

7. : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит через начало координат. При этом и плоскость задается уравнением , которому удовлетворяет точка .

1. Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости

Задача 2.6

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение: 1) По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости , а это значит, ее уравнение принимает вид: , где . 2) Нормаль этой плоскости должна быть , где , откуда , следовательно, общее уравнение принимает вид: , или (по условию ). Ответ: .

Задача 2.7

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение: 1) У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль . 2) По формуле ( 2.0 ) получаем: , или .

Ответ: .

Задача 2.8

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Решение: 1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка – известна, осталось найти нормаль. 2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна: и . 3) По свойству векторного произведения: если , то и , значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их векторное произведение: , откуда координаты нормали: . 4) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение ( 2.0 ), находим общее уравнение: . После преобразования получим Ответ: .

Задача 2.9

Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

Решение: 1) Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: , и . 2) Очевидно, что вектора и будут лежать в одной плоскости и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере. 3) Координаты векторов:

4. Найдем координаты нормали:

4. Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение ( 2.0 ), находим общее уравнение:

. Ответ: .

Задача 2.10

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки , перпендикулярно плоскости .

Решение: 1) Для определенности положим, что – фиксированная точка, радиус-вектор которой ; – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: . 2) Нормаль плоскости имеет координаты , что следует из вида общего уравнения плоскости ( 2.0 ). 3) Нормаль искомой плоскости перпендикулярна вектору и нормали плоскости , то есть является их векторным произведением: . Откуда:

, или .

4) Подставим в общее уравнение плоскости ( 2.0 ) найденные значения координат нормали и фиксированной точки: .

Ответ: .

Задача 2.11

Записать уравнение плоскости, проходящей через точки , и образующей с плоскостью угол равный .

Решение: 1) Для определенности положим, что – фиксированная точка, радиус-вектор которой ; – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: .

2) Так как нормаль искомой плоскости перпендикулярна этому вектору , то . Скалярное произведение в декартовой системе координат определяется по формуле: , откуда получаем уравнение

3) Нормаль плоскости имеет координаты . Подставим известные значения в формулу ( 2.0 ):

,

или .

1. Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех неизвестных: .

2. Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на :

,

3. Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:

, откуда .

4. Получили пропорцию коэффициентов нормали: , откуда в качестве координат нормали возьмем .

5. Уравнение плоскости запишется в виде:

. Ответ: .