5. Векторное и смешанное произведения векторов

Определение 1.17. Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор, обозначаемый как , удовлетворяющий условиям:

- вектор перпендикулярен векторам и ;

- длина равна , где ;

- векторы , , образуют правую тройку, то есть если векторы , , приведены к общему началу, то из конца поворот от вектора к вектору на меньший угол происходит против часовой стрелки (Рис. 1.1).

Рис. 1.1. Векторное произведение двух ненулевых векторов

Векторное произведение обладает свойствами:

1) векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тгда и только тогда, когда они коллинеарны, в частности ;

2) , где – скаляр;

3) ;

4) ;

5) длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одной точке;

6) если координаты векторов и известны в декартовом базисе как и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Определение 1.18. Смешанным произведением трех ненулевых некомпланарных векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора и .

Обозначается смешанное произведение как или .

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком «+», если – правая тройка и со знаком «–», если – левая тройка;

2) в смешанном произведении неважно, в каком порядке брать векторное и скалярное произведение: ,

но при перестановке двух сомножителей меняется знак: ;

3) три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю;

4) если координаты векторов , и известны в декартовом базисе как , и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Пример 1.8. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты: и .

Решение: По формуле, выражающей векторное произведение через декартовы координаты имеем:

.

Ответ: координаты вектора .

Пример 1.9. Вычислить , если , .

Решение: Так как у векторов и третья координата не задана, то можно выразить векторное произведение через определитель 3-го рода, подставив вместо нее нули: .

Ответ: .

2. Примеры решения типовых задач: векторная алгебра

Задача 1.1.

Даны два вектора и . Найти координаты вектора .

Решение: Из свойства 1 следует, что , следовательно: .

Ответ: .

Задача 1.2

Найти координаты вектора , соединяющего точку с координатами и точку с координатами .

Решение: Обозначим координаты точки как , координаты точки как . Из свойства 2 следует: вектор имеет координаты . Подставляем исходные значения: .

Ответ: .

Задача 1.3

Доказать, что два вектора и коллинеарны.

Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить выполнение равенства: . Подставим заданные значения координат: , откуда: . Равенство верно.

Ответ: исходные вектора коллинеарны.

Задача 1.4

Задан вектор и известно, что точка имеет координаты . Найти координаты точки – начала вектора.

Решение: Введем обозначения: – координаты вектора , – координаты точки , – координаты точки .

1. Из свойства 2 следует, что для решения необходимо решить два уравнения: ; .

2. Подставим известные величины: ; ; откуда искомые координаты: ; . Ответ: точка имеет координаты .

Задача 1.5

Найти , если и , где , , угол .

Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу выражения разложения векторов по базису:

1. Преобразуем скалярное произведение согласно 2 и 6 свойству:

2. Приведем подобные члены в полученном выражении и применим 3-е свойство скалярного произведения:

3. Вставим исходные данные и распишем формулу скалярного произведения базисных векторов:

. Ответ: 99.

Задача 1.6

Для векторов и найти их проекции друг на друга: и в декартовой системе координат.

Решение: Для определения проекции найдем скалярное произведение векторов; для декартовой системы координат справедлива формула: . Подставляем исходные координаты: . Найдем длину , из формулы для декартовых координат имеем: . Подставим найденные значения в искомую формулу: . Аналогично найдем вторую проекцию: . Ответ: ; .

Задача 1.7

Определить в декартовой системе координат угол между вектором с координатами {4, 1, 1} и вектором с координатами {2, 2, -1}.

Решение: Для вычисления угла по формуле необходимо определить длины векторов и их скалярное произведение.

. Определяем длины векторов ; . Подставляем в формулу: . Решая данное тригонометрическое уравнение, получим: . Ответ: .

Перед рассмотрением таких операций над векторами, как векторное и смешанное произведения, введем понятие определителя. С помощью определителя векторное и смешанное произведения можно представить через координаты векторов.

Задача 1.8

Определить длину вектора , если координаты вектора и вектора заданы в декартовой системе координат.

Решение: Сначала находим координаты вектора по формуле для определителя:

. Теперь по формуле вычисления длины вектора через его декартовы координаты имеем: .

Ответ: .

Задача 1.9

Найти длину вектора , если координаты вектора и вектора заданы в аффинной системе координат с базисом: , , .

Решение: Разложим исходные вектора по базису: ; . Подставим в выражение для и используем свойства векторного произведения:

.

По формуле длины векторного произведения имеем:

. Ответ: .

Задача 1.10

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Решение: Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, соответствующих двум соседним сторонам этого параллелограмма: . Длину векторов в декартовых координатах вычисляем по формуле: ; ; Подставляем в искомую формулу:

. Ответ: .

Задача 1.11

Вычислить смешанное произведение , если , , .

Решение: Так как вектора заданы в декартовой системе координат, то можно воспользоваться формулой представления смешанного произведения через определитель 3-го порядка, а отсутствующие координаты в разложениях заменить нулем:

. Ответ: –25.

Задача 1.12

При каких значениях параметра (если таковые существуют) вектора и являются коллинеарными?

Решение: Два вектора коллинеарны, тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0; нам известны координаты векторов в декартовой системе координат, поэтому распишем векторное произведение:

, которое должно быть равно нулю. Поэтому составляем следующее уравнение: . Вектор является базисным, поэтому он не может быть равным нулю, откуда: . Решая данное уравнение относительно параметра , получаем: . Ответ: при векторы и коллинеарны.

Задача 1.13

При каком , если оно существует, векторы , и компланарны?

Решение: С одной стороны, вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю; с другой стороны можно расписать смешанное произведение через определитель 3-го порядка, откуда получаем: . Раскрываем определитель

. Это выражение должно быть равно нулю: . Решая данное уравнение относительно , получаем: . Ответ: при исходные векторы компланарны.

Задача 1.14

Смешанное произведение . Найти смешанное произведение .

Решение: Согласно определению смешанного произведения:

{Используя свойства векторного произведения, имеем} {Так как , получаем} {По свойствам скалярного произведения}

{По определению смешанного произведения выражение преобразуется}

{В смешанном произведении неважен порядок векторного и скалярного произведения, поэтому выражение можно преобразовать}

{Так как , получаем} {Произведя циклическую перестановку членов смешанного произведения и учитывая знак, имеем}

{Используя тот факт, что , полчаем ответ} .

Ответ: .