2. Базис и разложение векторов

Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов называется вектор , а числа - коэффициентами линейной комбинации.

Определение 1.9. Совокупность векторов называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все , то вектора называют линейно зависимыми.

Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора и . Тогда любой вектор можно представить в виде: и притом, единственным образом.

Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор – базисом, а коэффициенты при базисе: – координатами разложения.

С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису называются координатами точки в построенной системе координат: .

Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора относительно декартова базиса как .

В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора равна: .

Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка - начало аффинной системы координат.

Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

3) векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Пример 1.2.

Даны два вектора и . Доказать, что они могут быть базисом.

Решение:

1. По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение 3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.

2. равенство неверно, значит, вектора и неколлениарны.

Ответ: вектора и являются базисом.

Пример 1.3.

Разложить по базису и вектор .

Решение: Обозначим координаты вектора как ; тогда разложение вектора по базису и можно записать по формуле: . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравнение, получаем следующую систему: . Решив эту систему, получаем

Ответ: .