1. Примеры решения типовых задач: матрицы

Задача 4.1.

Вычислить матрицу по правилу: , где ; ; .

Решение: По правилам выполнения арифметических операций, сначала выполняем операции, указанные в скобках. Найдем суммы матриц:

; .

Теперь найдем произведение полученных матриц:

. Ответ: .

Задача 4.2.

Вычислить матрицу , где

, .

Решение:

1. Вычислим вспомогательную матрицу :

2. Вычислим вспомогательную матрицу :

3. Вычислим матрицу .

. Ответ: .

Задача 4.3.

Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке остались нули, кроме элемента в первом столбце. Один нуль уже есть, получим еще два. Для этого умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами третьего столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с четвертым столбцом. При этом, естественно, элементы первого столбца перепишем без изменения:

{Раскладываем определитель по элементам первой строки}

{Продолжим преобразования определителя. Получим в первой строке нули, кроме элемента в первом столбце. Умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами второго столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим полученный определитель по элементам первой строки}

. Ответ: .

Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для .

Решение. 1) Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:

.

2) Транспонируем исходную матрицу .

3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной матрицы:

; ; ; ; ; ;

; ; .

4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель исходной, получим обратную:

.

Проверим выполнение условия :

. Ответ: .

Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: .

Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:

.

Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее обратной не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не может превышать: . Однако, она содержит нулевые столбцы: второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэтому, отбросив все нулевые столбцы имеем: . Полученная матрица имеет три строки и два столбца, значит, . Обратим внимание на элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2-го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.

Ответ: .

Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от этого не изменится:

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:

{Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго столбца, кроме и были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их} .

Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю, например: , следовательно, .

Ответ: .