5. Кривые второго порядка

Всякую кривую второго порядка можно описать уравнением вида:

,

( 2.0 )

где – константы.

В зависимости от соотношения этих констант получаются уравнения окружности, эллипса или гиперболы. В частности, если и , уравнение ( 2.0 ) описывает уравнение окружности: , или, выделив полный квадрат:

,

( 2.0 )

Если уравнение ( 2.0 ) разлагается на два линейных множителя, то оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Определение 2.2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости, есть величина постоянная. Эти фиксированные точки плоскости называются фокусами эллипса.

Рис. 2.7. Эллипс

На Рис. 2.7 обозначены: – вершины эллипса; – большая ось ; – малая ось ; и – фокусы эллипса, лежащие на большой оси по обе стороны от центра на расстоянии от него; – фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус параллельно малой оси). Величина – называется эксцентриситетом эллипса. Директрисы – это прямые, параллельные малой оси и находящиеся от нее на расстоянии .

Каждое из расстояний от точки до фокусов определяется по формулам: , , .

Каноническое уравнение эллипса записывается как:

,

( 2.0 )

Определение 2.3. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная .

Точки, для которых выполняется условие , принадлежат одной ветви гиперболы (на Рис. 2.8 - правой). Точки, для которых принадлежат другой ветви гиперболы (на Рис. 2.8 - левой). На Рис. 2.8 – действительная полуось, – мнимая полуось гиперболы ; прямые – асимптоты гиперболы; и - фокусы гиперболы. Точки , называются вершинами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле ; прямые перпендикулярны к действительной оси и называются директрисами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы записывается следующим образом:

.

( 2.0 )

Определение 2.4. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) плоскости.

Элементами параболы являются: – ось параболы; – параметр параболы - расстояние между фокусом и директрисой; – вершина параболы; – фокус параболы (точка, лежащая на расстоянии от вершины); уравнение директрисы (Рис. 2.9).

Каноническое уравнение параболы записывается как:

.

( 2.0 )

1. Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка

Задача 2.17

Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Решение: Приведем исходное уравнение к виду ( 2.0 ): выделим полные квадраты по и , для этого разобьем свободный член на элементы:

, или

. Согласно уравнению ( 2.0 ) получаем Ответ: координаты центра , радиус= .

Задача 2.18

Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Решение:

1. Приведем уравнение к виду ( 2.0 ): перепишем в виде:

, откуда , .

2. Определяем расстояние фокусов от центра:

, то есть , .

3. Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

. Ответ: , , .

Задача 2.19

Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 1.

Решение:

1. Для записи уравнения гиперболы в виде ( 2.0 ) необходимо знать величины и . Величина по условию задачи (длина вещественной оси). Определим величину .

2. Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

3. По формуле определяем величину :

4. Подставляем в уравнение ( 2.0 ), получаем Ответ: .

Задача 2.20

Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Решение:

1. По условию парабола симметрична оси и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением ( 2.0 ).

2. Подставим в уравнение ( 2.0 ) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

3. Следовательно, уравнение параболы можно записать как . Ответ: .