1. Метод середньої ступінчастої
Об’єднуємо по три інтервали і в кожному укрупненому інтервалі обчислюємо середнє значення рівня динамічного ряду, таким чином, маємо:
=
(12,3 + 12,5 + 12,2) / 3 = 12,33;
=
(12,9 + 13,1 + 12,8) / 3 = 12,93;
=
(13,5 + 13,3 + 13,9) / 3 = 13,57.
За результатами згладжування методом середньої ступінчастої бачимо тенденцію до зростання. Визначимо характер тенденції, розрахувавши абсолютні ланцюгові прирости:
1 = – = 12,93 – 12,33 = 0,6.
2 = – = 13,57 – 12,93 = 0,64.
Висновок: абсолютний приріст зростає, тому для даного динамічного ряду маємо тенденцію до прискореного зростання.
2. Метод середньої плинної
Об’єднуємо перші три інтервали, обчислюємо середнє значення рівня динамічного ряду, переміщуємося на один інтервал і повторюємо процедуру до кінця динамічного ряду, таким чином, маємо:
= (12,3 + 12,5 + 12,2) / 3 = 12,33; = (12,5 + 12,2 + 12,9) / 3 = 12,53;
=
(12,2 + 12,9 + 13,1) / 3 = 12,73;
= (12,9 + 13,1 + 12,8) / 3 = 12,93;
=
(13,1 + 12,8 + 13,5) / 3 = 13,13;
= (12,8 + 13,5 + 13,3) / 3 = 13,2;
=
(13,5 + 13,3 + 13,9) / 3 = 13,57.
Оскільки чіткої тенденції розвитку не спостерігається, проводимо повторне згладжування, для чого укрупнюємо інтервали первинного динамічного ряду по п’ять інтервалів, тоді:
= (12,3 + 12,5 + 12,2 +12,9 + 13,1) / 5 = 12,6;
= (12,5 + 12,2 + 12,9 +13,1 + 12,8) / 5 = 12,7;
= (12,2 + 12,9 + 13,1 +12,8 + 13,5) / 5 = 12,9.
= (12,9 + 13,1 + 12,8 +13,5 + 13,3) / 5 = 13,12;
= (13,1 + 12,8 + 13,5 + 13,3 + 13,9) / 5 = 13,32.
Повторне згладжування показало наявність чіткої тенденції до зростання. Визначимо характер тенденції, розрахувавши абсолютні ланцюгові прирости:
1 = – = 12,7 – 12,6 = 0,1; 2 = – = 12,9 – 12,7 = 0,2;
3 = – = 13,12 – 12,9 = 0,22; 4 = – = 13,32 – 13,12 = 0,2.
Таким чином, для даного динамічного ярду маємо тенденцію до нерівномірного зростання.
3. Метод аналітичного вирівнювання
а) за лінійною моделлю
Лінійна модель має вигляд:
Параметри
та
згідно з методом найменших квадратів
знаходяться розв’язанням системи
нормальних рівнянь:
,
де n – обсяг сукупності (кількість значень рівнів ряду);
y – фактичні рівні ряду
t – порядковий номер періоду або моменту часу
Розв’язавши цю систему, отримуємо значення параметрів лінійної моделі:
,
,
де
– середній рівень динамічного ряду.
Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:
Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі
№ |
у |
t |
t 2 |
yt |
1 |
12,3 |
1 |
1 |
12,3 |
2 |
12,5 |
2 |
4 |
25,0 |
3 |
12,2 |
3 |
9 |
36,6 |
4 |
12,9 |
4 |
16 |
51,6 |
5 |
13,1 |
5 |
25 |
65,5 |
6 |
12,8 |
6 |
36 |
76,8 |
7 |
13,5 |
7 |
49 |
94,5 |
8 |
13,3 |
8 |
64 |
106,4 |
9 |
13,9 |
9 |
81 |
125,1 |
Разом |
116,5 |
45 |
285 |
593,8 |
Тоді:
а1 = (9 · 593,8 – 116,5 · 45) / (9 · 285 – 45 · 45) = 0,188;
а0 = 116,5 / 9 – 0,188 · (45 / 9) = 12.
Таким чином, лінійна модель має вигляд: уt = 12 + 0,188 t.
Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо значення t = 12, тоді:
У12 = 12 + 0,188 t = 12 + 0,188 · 12 = 14,3.
б) модель квадратичної параболи
Параметри параболи другого порядку:
Y = a + b·t + c·t 2,
обчислюють за допомогою системи нормальних рівнянь:
.
Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від’ємних значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.
Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду
Фактичний період |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Умовний період |
– 4 |
– 3 |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
При цьому t = 0 та t3 = 0; а система рівнянь набуває вигляду:
Тоді:
,
,
.
Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю: