28 Теорема про оператор .
Пусть
– банахово пространство, 
– тождественный оператор в
,
а 
– такой ограниченный линейный оператор,
отображающий
в себя, что 
.
Тогда оператор 
существует,
ограничен и представляется в виде 
.
Доказательство.
Существование
и ограниченность оператора
вытекает
из следующих рассуждений: т.к.
,
то 
.
Пространство
полно, поэтому из сходимости ряда 
вытекает, что сумма ряда
представляет собой ограниченный линейный
оператор.
Для
любого n
имеем
Переходя
к пределу при 
и учитывая, что 
,
получаем
Откуда
Что и требовалось доказать.
29.Лінійні функціонали. Означення. Норми. Приклади.
Оператор f переводящий данное линейное пространство Е в числовую прямую называется функционалом. f называется однородным если f(αx)=αf(x) для любого х є Е, для любого α.
f называется аддитивным , если: f(x+y)=f(x)+f(y) для любого х, у из Е.
Аддитивный и однородный функционал называется линейным. Функционал называется линейным, если f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) для любого х,у из Е и α,β.
Т.к. функционал – это частный случай оператора, то на функционалы распространяются все утверждения и теоремы, которые были получены для оператора.
Пусть Е – это нормированное пространство, тогда справедлива теорема:
Для того, чтобы линейный функционал определённый на линейном нормированном пр-ве Е был непрерывным необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен, т.е. существовала такая const M, чтобы: |f(x)|≤M*||x|| (1), для любого х из Е.
Наименьшая из констант М, удовлетворяющая неравенству (1) называется нормой функционала - ||f||. Для нормы справедливы следующие равенства: ||f|| = sup |f(x)|/||x|| (под sup x≠0) = sup |f(x)| (под sup ||x||≤1)
Примеры линейных функционалов в нормированных пространствах:
1. Пусть Е – это Rn – арифметическое эвклидово пространство и a – фиксированный вектор в Rn, тогда f(x)=(х, а) – скалярное произведение х на а для любого х из Rn. Этот f является линейным, линейность следует из свойств
|f(x)|≤||x||*||a|| => |f(x)|/||x||≤||a||, x≠0 => ||f(x)||=sup |f(x)|/||x||≤a => ||f||≤||a|| (1)
Пусть х=а, тогда f(a)=(a,a)=||a||2 =>||f||≥||a|| (2). Из (1) и (2) следует ||f||=||a||.
2.
Расмотрим пр-во С[a,b]
– пр-во непрерывных функций и определим
функционал
I(x) =
Этот функционал является линейным и
ограниченным.
Покажем это:
3.С[a,b] y0(t)=фиксированная
непрерывная функция.
.
Этот F(x)
– линейный. Проверим, ограниченный ли
он
4.
С[a,b]
функционал
δ(t)
– функция Диракса, которая равна всюду,
кроме т. t=0
5. Любое Эвклидово пространство
Х – эвклидово пространство, а є Х. F(x) = (x,a) – линейный ограниченный функционал, а значит непрерывный ||F||=||a||. Доказательство аналогично перовму!
30. Інтерпретація норми лінійного функціоналу
Множество
х из Е таких что f(x)=C называется
гиперплоскостью.
Из
(7) и (8) следует, что
.
Норма линейного функционала f обратна
расстоянию от гиперплоскости f(x)=1 до 0.
31. Однорідно-опуклі функціонали. Приклади.
Е-линейное, действительное пространство.
Множество
М
Е
называется выпуклым, если оно вместе с
любыми своими точками х и у содержит и
отрезок, соединяющий эти точки
выпуклая
комбинация.
Определенный
на Е функционал Р(х) называется выпуклым,
если
.
Функционал
Р(х) называется положительным однородным,
если
.
Положительный однородный выпуклый функционал называется однородно-выпуклым.
Примеры.
1)Е-любое линейное действительное пространство
f(x)-линейный функционал на Е
Р(х)=| f(x)|
Положительный однородный
Выпуклый
2)
m
x=(
)
P(x)=
-однор.
Выпуклый функционал
3)
