1.Метричні простори. Приклади ,

Метричним простором називають пару (Х,р), що складається з деякої множини (простору) Х елементів і відстані, тобто однозначної невід’ємної дійсної функції р(x,y) ,що підлягає аксіомам 1)p(x,y)=0 тоді і тільки тоді ,коли х=у

2)p(x,y)=p(y,x) (аксіома симетрії)

3)р(x,z) p(x,y)+p(y,z) (аксіома трикутника)

Приклади

Простір ізольованих точок p(x,y)=

Множина дійсних чисел утворює метричний простір

p(x,y)=|x-y|

Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел

p(x,y)=

називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором

Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел , але з відстанню

p(x,y)= позначимо простором

Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою: .Цей простір

Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку з відстанню

Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності чисел дійсних чисел, що задовільняють умові:

,а відстань визначається формулою:p(x,y)=

Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку , але відстань визначимо по-іншому, а саме:

Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.

Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:

Простір - множина впорядкованих груп з дійсних чисел з відстанню

2. Нерівності Мінковського та Гельдера.

Нерівність Мінковського має наступний вигляд:

(применение с википедий : Нерівність Мінко́вского — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим -им ступенем.)

Нерівність Гельдера має наступний вигляд:

Де числа зв’язані умовою ,тобто . Ця нерівність однорідна, а це означає,що якщо вона виконується для будь-яких векторів і ,то вона виконується й для векторів , де – довільні числа.

3. Операція замикання та її властивості.

Точка називається точкою дотику множини з , якщо будь-який ії окіл містить хоч бі одну точку з . Сукупність всіх точок дотику множини позначається і називається замиканням цієї множини.

Операція замикання має такі властивості:

Якщо , то

Доведення.

Перше твердження очевидне ,тому що будь-яка точка, що належить М, буде для М точкою дотику. Доведемо друге . Нехай . Тоді в будь-якому околі цієї точки знаходиться точка .

Нехай і розглянемо кулю . Ця куля повністб міститься в кулі . Дійсно, якщо , то і через те ,що , то за аксіомою трикутника

,тобто . Оскільки довільний окіл точки ,то -друге твердження доведено . Третє твердження очевидне. Доведемо четверте . Якщо , то х міститься в одній з множин , тобто . Оскільки і

то зворотне включення витікає з властивості 3.Теорема доведена

4. Відкриті та замкнені множини.

1)Множество М называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.

2)Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

3)Из 2-ого свойства операции замыкания следует, что замыкание М – замкнутое мн-во.

4)Можно показать, что замыкание – это наименьшее замкнутое мн-во содержащее множество М.

Теорема: Пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых множеств – замкнуто.

Точка х называется внутренней точкой множества М, если она содержится в этом множестве вместе со своей некоторой окрестностью.

Множество М называется открытым, если все его точки внутренние.

Теорема: Для того, чтобы мн-во М было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение до всего пространства М было замкнуто.

Теорема: Объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств – открытое множество.