30. Інтерпретація норми лінійного функціоналу

Множество х из Е таких что f(x)=C называется гиперплоскостью.

Из (7) и (8) следует, что . Норма линейного функционала f обратна расстоянию от гиперплоскости f(x)=1 до 0.

31. Однорідно-опуклі функціонали. Приклади.

Е-линейное, действительное пространство.

Множество М Е называется выпуклым, если оно вместе с любыми своими точками х и у содержит и отрезок, соединяющий эти точки выпуклая комбинация.

Определенный на Е функционал Р(х) называется выпуклым, если .

Функционал Р(х) называется положительным однородным, если .

Положительный однородный выпуклый функционал называется однородно-выпуклым.

Примеры.

1)Е-любое линейное действительное пространство

f(x)-линейный функционал на Е

Р(х)=| f(x)|

Положительный однородный

Выпуклый

2) m x=( ) P(x)= -однор. Выпуклый функционал

3)

32. Спряжені простори.

Для лінійних функціоналів можна визначити операції додавання і множення їх на числа. Нехай і — два лінійних функціонала на деякому лінійному просторі Е. Їх сумою + називається лінійний функціонал f(x) = (x)+ (x), хєЕ.

Добутком лінійного функціоналу на число називається функціонал

Рівності, що визначають + і , можна записати: .

Сума fi +f₂ і добуток ,являють собою лінійні функціонали.

Сукупність всіх неперервних лінійних функціоналів, що визначені на деякому лінійному просторі Е, утворює лінійний простір, що називають спряженим з Е і позначають Е*.

33. Теорема про повноту спряженого простору.

Теорема про повноту спряженого простору

Спряжений простір завжди повний.

Таким чином, не зважаючи на властивості , простір банахів. Крім того, , де – поповнення простору . Рівність мається на увазі з точністю до ізоморфізму.

34. Спряжений простір до простору е (де е – n-вимірний лінійний простір).

Візьмемо в ньому будь-який базис ; тоді всякий вектор однозначно подається у вигляді

. Якщо f – лінійний функціонал на Е, то ясно, що ** звідси, лінійний функціонал однозначно визначається своїми значеннями на векторах базиса , причому ці значення можна задати довільно. Визначимо лінійні функціонали , поклавши

Очевидно, ці функціонали лінійно незалежні. Ясно що тому формулу ** можна записати у вигляді . Таким чином, функціонали утворююсь базис в Е^*, тобто Е^* - n- вимірний лінійний простір; базис називають подвійним відносно базису в Е.

Різні норми в просторі Е індуцюють різні норми в Е^*.

35. Приклади спряжених просторів (до просторів та ).

Розглянемо простір С⁰ збіжних до нуля послідовностей з нормою і покажемо, що простір, спряжений до нього , ізоморфний простору всіх абсолютно сумованих послідовностей з нормою .

Будь-яка послідовність визначає в просторі С⁰ лінійний обмежений функціонал за формулою ***; ясно, що

.Розглянемо в С⁰ вектори

……………………….

………………………..

і покладемо , (якщо f_n=0, то вважаємо, що ).

Тоді ,

так що .

Звідси, ; порівнявши це з доведеною раніше протилежною рівністю, маємо, що .

Таким чином, ми зробили лінійне ізометричне відображення простору в простір С^0*; перевіримо, що образ простору при цьому відображенні співпадає з у усім С^0*, тобто всякий функціонал подається у вигляді *** де . Для всякого маємо , причому ряд, що стоїть праворуч, збігається до x в С⁰, бо

. Оскільки функціонал .

Взявши , із того, що маємо , звідки в силу довільності N говоримо, що .

Простір Нехай p>1, і – простір всіх послідовностей , для деяких

; можна довести, що спряжений до нього простір ізоморфний простору , . Загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу на ; , . При доведенні застосовується нерівність Гельдера.