22. Лінійні оператори. Означення. Оператор диференціювання.
Пусть
Е,
линейные метрические пространства.
Линейным оператором, действующим из Е
в
называется отображение у=Ах (хєЕ,
ує
).
Такое, что
,
т.е.
1) А- аддитивен
2)А – однороден или просто линеен
В общем случае считается, что оператор А оператор А определен не на всем пространстве Е.
Совокупность
тех хєЕ
для которых отображение определено
называется областью определения
.
-
линейное многообразие
Множество тех у из для которых у=Ах хє называются областью значения оператора А или образом линейного оператора ImA.
Оператор
А называется непрерывным в точке
если
точки
что
.
Оператор
А называется непрерывным, если он
непрерывен в каждой точке
Пусть
Е,
-
нормированные пространства. Оператор
А: Е
называется непрерывным, если
.
Оператор
А непрерывен в точке
если
:
.
Оператор
А непрерывен в точке
если
т.е.
.
Множество
тех хєЕ
для которых Ах=0 называется ядром
линейного оператора А и обозначается
.
Если
и оператор А непрерывен, то ядро оператора
А является подпространством, т.е.
замкнутым.
Линейный
оператор, переводящий данное пространство
Е в числовую прямую называется линейным
функционалом
.
Оператор
дифференцирования
1)
Оператор определен не на всем пространстве C[a,b], а определен только на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную.
Оператор
D
линейный, но не является непрерывным
.
2)
Тогда
оператор А будет и линейным и непрерывным.
3)
Оператор А:
-
пространство непрерывных функций
бесконечно дифференцируемых на [a,b].
n=1,2…
А непрерывен в этой норме.
- линейный
А
в
.
23. Неперервність та обмеженість лінійних операторів у лінійних метричних просторах.
Е, линейные метрические пространства. А называется ограниченным А: Е , если он определен на всем Е и переводит ограниченное множество в ограниченное.
Всякий линейные непрерывный оператор ограничен (Е и -линейные метрические пространства).
Если А- ограниченный оператор, действующий из метрического пространства Е в метрическое пространство , то А- непрерывный оператор.
Понятия ограниченности и непрерывности эквивалентны
24. Неперервність та обмеженість лінійних операторів у нормованих просторах.
Пусть Е, Е1 – непрерывные метрические пространства. А:E=>E1 наз. огранич. Da=E. Утверждение. Всякий линейный непрерывный оператор ограничен. Если А – ограниченный оператор, действующий их пространства Е в Е1 то А – непрерывный оператор. Опр. Оператор А действующий из нормированного пространства Е в нормированное пространство Е1 наз. ограниченным если он переводит всякий шар в ограниченное множество.
Опр. Оператор А действующий из нормированного пространства Е в нормированное пространство Е1 наз. ограниченным если сущ. ƎС:||Ax||<=C||x||, ∀x ЄЕ. Th. Для того что бы линейный оператор А действующий из нормированного пространства Е в нормированное пространство Е1 был непрерывным, достаточно что бы он был ограниченным. А-непр=>А-огр. Пусть А не является ограниченным. ∀n Ǝxn ЄЕ : ||Ax||>n||xn||
Утверждение. В конечномерном пространстве каждый линейный оператор непрерывен.