9. Компактність у метричних просторах.

Множество М метр. простр. R наз. Компактным, если из любого бесконечного подмножества этого множества можно выделить посл. сход. к ел. этого множества.

R=[0,1], с раст. P(x,y) = (y-x), о увидим то R явл. Компактным в силе Больцана Вейерштрасса.

R^1 не компактное простр. Х = {1,2,3,…} мн. Кот. Не имеет ни одной сход. подпослед.

в R^1 мн. М – замкнутое огр. мн. явл. компактным.

R^n не явл. комп., но всякое огр. замкн мн. явл. компактом.

C[0,1] не явл. комп. М= {x(t)|x(0) = 0,x(1),max(x(t))<=1,t є [0,1]}

l2 посл. сумир. с квадратом не явл. компактным мн. Но в этом простр. сущ. замкнутое огр. мн которое не явл компактными, пример: единичиный шар, который является компактным.

Гильбертов кирпич – мн. точек из l2 таких что удовл. усл.

0<=x0<=1/(2^(n-1)), n=1,2…

Компактность выплывает из общего признака компактности lp, p >=1

10. Повна обмеженість у метричних просторах.

, ξ>0:

Опред:

Мн-во называется ξ сетью для мн-ва М, если для любой точки найдётся точка , ρ(х,а) ξ.

Пример:

Если мы рассматриваем множество точек на площаде, то -сеть.

Опред:

Мн-во называется вполне ограниченным, если для него, при любом ξ существует конечная ξ-сеть.

Утверждение:

Вполне ограниченное мн-во – ограничено.

Док-во:

Как объединение конечного числа ограниченных мн-в. Обратное неверное.

Замечание:

Если мн-во М вполне ограниченно, то его замыкание так же вполне ограниченно.

Утверждение:

Если метрическое пр-во R вполне ограниченно, то оно сепарабельно.

Док-во:

Для любого n построим 1/n – конечную сеть, тогда объединение этих сетей по n и будет чётным всюдуплотным мн-вом в этом пр-ве.

11. Критерій компактності в метричних просторах.

Теорема:

Для того, что бы метрическое пр.-во R было кампактом необходимо и достаточно:

R – вполне ограниченное

R – полное

Док-во:

Необходимость. Докажем необходимость от противного

Пусть R – не вполне ограниченное, тогда существует -сеть, кот не конечная. , иначе было бы конечной сетью.

, иначе образововали бы конечную сеть.

Пусть элементы уже построены, тогда

Иначе образововали бы конечную сеть.

Таким образом , тогда эта послед не имеет ни одной сход. подпослед, что противорчит компактности R.

Пусть R- не явл. полным, т.е. пусть - некоторая фундаментальная последовательность, кот не имеет lim R, отсюда следует, что любая её подпослед тоже не будет иметь limR, что портиворечит компактности R.

Теорема Хаусдорфа:

Для того, что бы мн-во М в полном метрическом пространстве R было предкомпактным необходимо и достаточно, что бы оно было вполне ограниченным.

Теорема:

Пусть Х и У – метрические пространства АсХ и ф-я f: A->У непрерывна на А, тогда, если А компакт, то f(A) тож компакт.

12. Критерій компактності в різних просторах ( ).

1.

Критерий компактности следует из теоремы Бол.- Вейер.

M c R предкомпактно, если ограниченно.

С[a,b]

Опред:

Семейство Ф ф-й φ, опред на [a,b] равномерно огран, если сущ k, что

Опред:

Семейство наз равномерно непрерывным, если

Теорема о целом:

Для того, что бы сімейство Ф непрерывных ф-й было предкомпактным в пр.-ве C[a,b] необход и достаточно, что бы это семейство было равномерно ограниченным и равномерно непрерывным.