25. Интегрируемость функции, непарывнойй на отрезке. Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.

□ Няхай функцыя ёсць непарыўная на адрэзку . Паводле тэарэмы Кантара яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку, г.зн. мае месца (1).

Няхай – такі падзел адрэзка , што яго дробнасць . Адпаведна другой тэарэме Ваерштраса

.

Паколькі , а , то , а таму . Маем

,г.зн. .

Згодна з крытэрам інтэгравальнасці функцыя ёсць інтэгравальная на . ■

Можна даказаць праўдзівасць наступных тэарэм:

Тэарэма 2 (Інтэгравальнасць кавалкава-непарыўнай функцыі). Калі функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку, ёсць непарыўная ва ўсіх пунктах гэтага адрэзку акрамя іх канечнай колькасці (г.зн ёсць кавалкава-непарыўная), то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 3 (Інтэгравальнасць манатоннай функцыі). Калі функцыя вызначана, абмежаваная і манатонная на адрэзку, то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 4 (Інтэгравальнасць кампазіцыі). Калі функцыя інтэгравальная на адрэзку і , а функцыя непарыўная на , то складаная функцыя ёсць інтэгравальная на .

26. Теоремы о среднем значении интегрируемой и непрерывной функций.

    Тэарэма  (Абагульненая тэарэма пра пасярэдняе значэнне інтэгравальнай функцыі). Калі функцыі і ёсць інтэгравальныя на адрэзку , а функцыя не змяняе знаку на , то існуе лік , такі, што (1).

□ Няхай . Паколькі інтэгравальная на , то яна абмежаваная на , а г. зн. . Пры гэтым маем . Адсюль, паколькі , маем

Паколькі ёсць інтэгравальная на , то згодна з уласцівасцю манатоннасці інтэграла маем . (2)

Калі пры гэтым , то таксама роўны нулю і роўнасць (1) праўдзіцца пры кожным .

Калі ж , то , і няроўнасць (2) можна падзяліць на гэты

інтэграл. Атрымаем . Абазначым . З гэтай роўнасці і атрымліваецца (1).

Калі ж , то для функцыі мае месца (1), г. зн.

.

Дамнажаючы абедзве часткі гэтай роўнасці на –1, атрымаем (1). ■

Вынік 1. (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне інтэгравальнай функцыі). Калі функцыя ёсць інтэгравальная на адрэзку , то існуе лік , такі, што

. (2)

□ Калі ў тэарэме 1 узяць , то атрымаем ■

Заўвага. Лік называецца сярэднім значэннем функцыі на .

Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што

□ Для функцыі f згодна з вынікам 1 мае месца формула (2), дзе . Паколькі f непарыўная на , то, на падставе другой тэарэмы Ваерштраса , дзе . Паколькі , то згодна з тэарэмаю Бальцана-Кашы аб прамежкавым значэнні непарыўнай функцыі . Падстаўляючы ў (1) замест значэнне , атрымаем (3). ■

Заўвага. Мы даказалі, што калі непарыўная на адрэзку , то – сярэдняе значэне функцыі на адрэзку .

27. Дифференцируемость интеграла с переменной верхней границей (теорема Барроу).

Тэарэма Барроў (Дыферэнцавальнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою).