17. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции на отрезке).

Першая тэарэма Ваерштраса (пра абмежаванасць функцыі). Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку , то яна абмежаваная на гэтым адрэзку, г.зн. .

□ (ад процілеглага) Няхай f – неабмежаваная на , г. зн.

.

Возьмем і тым самым пабудуем лікавую паслядоўнасць ,

г. зн. . Паколькі – абмежаваная , то згодна з тэарэмаю Бальцана-Ваерштраса (прынцып выбару) з яе можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць . Няхай –яе ліміт. Паколькі , то з тэарэмы пра лімітавы пераход у няроўнасці маем . Паколькі f –непарыўная у пункце , то , але гэта немагчыма, паколькі –бясконца вялікая паслядоўнасць як падпаслядоўнасць бясконца вялікай паслядоўнасці . Такім чынам, дапушчэнне непраўдзівае, а тым самым f – абмежаваная. ■

18. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижимости точных границ).

Другая тэарэма Ваерштраса (пра дасягальнасць дакладных межаў). Калі функцыя f непарыўная на адрэзку , то яна дасягае на гэтым адрэзку сваіх дакладных ніжняй і верхняй межаў, г. зн.

.

□ Згодна з першаю тэарэмаю Ваерштраса функцыя f– абмежаваная на , а таму, на падставе тэарэмы пра межы, існуюць . Пакажам, што існуе .

Дапусцім процілеглае, г. зн. . Паколькі , то , а паколькі , то . Таму функцыя і непарыўная на . Згодна з першаю тэарэмаю Ваерштраса функцыя g – абмежаваная на , г. зн. . Адкуль маем , а гэта азначае , што ёсць верхняя мяжа, а таму M – не найменшая з верхніх межаў ?!? Такім чынам, .

Аналагічна даказваецца другая частка тэарэмы. ■

19. Теорема Кантора (о равномерной непрерывности функции).

Тэарэма Кантара. Калі функцыя ёсць непарыўная на адрэзку, то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

□ (ад процілеглага) Няхай функцыя f(x) ёсць непарыўная на адрэзку [a,b], але не з’яўляецца раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку:

.

Возьмем адвольную паслядоўнасць: . Для кожнага такога знойдуцца . (1)

Паколькі то згодна з прынцыпам выбару з паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць . Калі з паслядоўнасці вылучыць падпаслядоўнасць з адпаведнымі нумарамі , то атрыманая падпаслядоўнасць таксама збягаецца да ліміту c, , што вынікае з няроўнасцяў . Функцыя f непарыўная на [a,b] і , таму . Але з (1) вынікае, што , адкуль, пераходзячы да ліміту, маем ?!? ■

20. Дифференцирование произведения двух функций.

Тэарэма . Калі функцыі u і v ёсць дыферэнцавальныя ў пункце x, то ў гэтым пункце дыферэнцавальныя сума, розніца, здабытак і дзель гэтых функцый. Пры гэтым праўдзяцца формулы: □

Далей атрымаем формулу для вылічэння вытворнай функцыі .

Калі функцыю падаць у выглядзе і выкарыстаць даказаныя дзве формулы, то атрымаецца формула вылічэння вытворнай дзелі. ■

21. Дифференцирование обратной функции.

Тэарэма. Калі строга манатонная і непарыўная на прамежку Х функцыя ёсць дыферэнцавальная ў пункце і , то адваротная функцыя ёсць таксама дыферанцавальная ў адпаведным пункце і яе вытворная ёсць .

□ На падставе тэарэмы пра адваротную функцыю, функцыя ёсць непарыўная на прамежку . Таму пры мае месца . Маем . Пры пераходзе да ліміту пры (пры гэтым ) маем .■