9. Критерий Гейне существования предела функции.

Тэарэма. (крытэр Гайне існавання ліміту функцыі). Для таго каб функцыя мела лімітам лік у пункце , неабходна і дастаткова, каб для кожнай лікавай паслядоўнасці значэнняў аргумента функцыі , адпаведная лікавая паслядоўнасць значэнняў функцыі .

□ Неабходнасць. Няхай , г.зн. , . Возьмем адвольную лікавую паслядоўнасць . Яе збежнасць азначае, што калі ўзяць выбраны лік то , а для такіх выконваецца няроўнась . Гэта і азначае, што .

Дастатковасць. Няхай для кожнай лікавай паслядоўнасці мае месца . Дакажам, што .

(ад процілеглага) Дапусцім, што не ёсць ліміт функцыі пры . Гэта азначае: . Возьмем адвольную лікавую паслядоўнасць . Пасля гэтага . Мы пабудавалі лікавую паслядоўнасць , якая мае ліміт . Чаму? (Паколькі .) Але пры гэтым . ?!? ■

10. Стабилизация знака непрерывной функции.

Тэарэма. Калі функцыя вызначана ў акрузе пункта , непарыўная ў пункце і , то існуе акруга пункта , у якой знак функцыі супа-дае з яе знакам у пункце , г.зн. .

□ Няхай для пэўнасці . З прычыны непарыўнасці у пункце для , адкуль вынікае, што . Выпадак разглядаецца аналагічна (выбіраецца ) ■

11. Непрерывность сложной функции.

def: Няхай функцыя вызначана на , а функцыя вызначана на , прычым . Тады функцыю, якая набывае значэнне , называюць складанай функцыяй (або кампазіцыяй, або суперпазіцыяй) функцый і абазначаюць .

Тэарэма. Калі функцыя непарыўная ў пункце , прычым , а функцыя непарыўная ў пункце , то складаная функцыя непарыўная ў пункце .

□ Паколькі функцыя ёсць непарыўная ў пункце , то

(1) мае месца . (2)

З непарыўнасці функцыі ў пункце маем: для знойдзенага існуе (3) выконваецца няроўнасць (4).

Калі ў (4) і (2) узяць і , то з (3) і (2) на падставе (1), (4) маем: . Гэта і азначае, што – непарыўная ў пункце . ■

12. Теорема о непрерывности монотонной функции.

def: Функцыю называюць нарастальнай на мностве , калі ; неспадальнай, калі ; спадальнай, калі ; ненарастальнай, калі . Усе такія функцыі называюцца манатоннымі. Нарастальныя і спадальныя функцыі называюцца строга манатоннымі.

Тэарэма (пра непарыўнасць манатоннай функцыі). Калі функцыя ёсць манатонная на адрэзку і мноства яе значэнняў ёсць адрэзак, то яна непарыўная на адрэзку .

□ (ад процілеглага) Няхай ёсць разрыўная на і няхай – яе пункт разрыву (для большай зручнасці разглядаем выпадак пункта разрыву ўнутры адрэзка). Для пэўнасці няхай ёсць неспадальная. Тады згодна з тэарэмай 1 або , або . Няхай . Паколькі неспадальная, то (лімітавы пераход ў няроўнасці), а для . Гэта азначае, што не набывае значэнняў з інтэрвала , г.зн. мноства значэнняў функцыі не ёсць адрэзак.

Аналагічна, калі , то не набывае значэнняў з інтэрвала . У абодвух выпадках мноства значэнняў функцыі не ёсць адрэзак. ?!? (Калі ж то разглядаецца толькі адпаведны аднабаковы ліміт.) ■