17. Монотонная функция, сложная и обратная функции.

Функцыю называюць нарастальнай на мностве , калі ; неспадальнай, калі ; спадальнай, калі ; ненарастальнай, калі . Усе такія функцыі называюцца манатоннымі. Нарастальныя і спадальныя функцыі называюцца строга манатоннымі.

Няхай функцыя вызначана на , а функцыя вызначана на , прычым . Тады функцыю, якая набывае значэнне , называюць складанай функцыяй (або кампазіцыяй, або суперпазіцыяй) функцый і абазначаюць .

Няхай функцыя вызначаная на і строга манатонная на , г.зн. , а тым самым існуе толькі адзін лік такі, што . Такім чынам на мностве вызначана функцыя, якая называецца адваротнаю функцыяй да функцыі і абазначаецца . Відочна, што , а

18. Эквивалентные функции. Бесконечно малые функции более высокого порядка.

Калі функцыі і вызначаны ў праколатай акрузе пункта і , то функцыі называюць эквівалентнымі ў акрузе пункта і пішуць .

Калі і , то кажуць, што функцыя у акрузе пункта ёсць бясконца малая больш высокага парадку, чым .

19. Производная функции, односторонние производные.

Няхай функцыя вызначана ў акрузе пункта . Калі існуе , то гэты ліміт называецца вытворнай функцыі у пункце .

К алі існуюць і то іх называюць адпаведна левабаковай і правабаковай вытворнымі функцыі у пункце і абазначаюць адпаведна і .

20. Геометрический смысл производной.

П усть на интервале (а,b) задана непрерывная функ­ция у=f(x). Её график наз. непрерывной кривой. Обозначим его через Г. Зададим на Г точку А=(х,f(х)) (рис) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем на Г другую точку B=(x+x,f(x+x)), где x0 (рис. 1 изобра­жён случай x>0, а на рис. 2 – случай x<0). Пря­мую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), наз. секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через . Мы считаем, что –/2<< /2. При >0 угол отсчи­тывается от оси x против часовой стрелки, а при <0 по часовой стрелке. На данных рисунках >0. На рис. 1 x=AC, y=СВ, а на рис. 2 x=–AC, y=–СВ, В обоих случаях y/x=tg.

Если x0, то y0 и точка В, двигаясь по Г, стремится к A. Если при этом угол  стремится к некоторому значению , отличному от /2 и –/2, то суще­ствует предел lim_x0y/x=lim_tg=tg [1], равный производной (конечной) от f в точке x: f'(x)=tg [2]. Обратно, если существует (конечная) производная f'(x), то =arctg f'(x). При стремлении  к  секущая S стремится занять положение направленной прямой Т, проходящей через точку А и образующей угол  с положительным направ­лением оси х. Направленная прямая Т наз. касательной к кривой Т в её точке А. Определение: Касательной к кривой Г (y=f(x)) в её точке А=(х,f(х)) наз. направленная пря­мая Т, к которой стремится секущая S (направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(x+x,f(x+x))Г, когда x>0. Мы доказали, что если непрерывная, функция у=f(х) имеет конечную производную f'(х) в точке х, то её гра­фик Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом tg=f'(х) (–/2<</2). Обратно, существование предела lim=(–/2<</2)

влечет за собой существование конечной производной f'(х) и справедливость равенств (1), (2). Может случиться, что f имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой: f'(x)f'_пр(x).

Т огда А есть угловая точка Г. В этом случае касательная к Г в A не существует, но можно говорить, что суще­ствуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:

21. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала.

Галоўную лінейную частку прыросту дыферанцавальнай ў пункце функцыі (гл. (1)) называюць дыферэнцыялам функцыі і абазначаюць .Дыферэнцыял функцыі мае адзін і той самы выгляд не гледзячы на тое, ці ёсць x незалежная зменная, ці х – дыферэнцавальная функцыя якой-небудзь іншай зменнай. Гэтую ўласцівасць дыферэнцыяла называюць інварыянтавасцю формы дыферэнцыяла.

22. Локальный экстремум функции.

Няхай існуе –акруга пункта , , ў якой вызначана функцыя і . Тады кажуць, што функцыя мае ў пункце лакальны максімум (мінімум). Лакальны максімум і лакальны мінімум аб’ядноўваюць агульным тэрмінам лакальны экстрэмум.

23. Первообразная и неопределённый интеграл.

Дыферэнцавальная на інтэрвале Х функцыя называецца першаіснаю для функцыі на Х, калі .

Калі ёсць першаісная для на інтэрвале Х , то сукупнасць першаісных для называюць нявызначаным інтэгралам ад функцыі на Х і абазначаюць .

24. Интегральная сумма и определённый интеграл для функции на отрезке .

Суму будзем называць інтэгральнаю сумай для функцыі пры зададзеным падзеле і фіксаванай выбарцы .

Лік I называюць вызначаным інтэгралам функцыі на адрэзку і абазначаюць , калі

25. Верхняя и нижняя суммы Дарбу.

Няхай абмежаваная на , і – некаторы падзел адрэзка . Няхай . Сумы называюцца адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу для дадзенага падзелу .

26. Монотонность и аддитивность определённого интеграла.

(манатоннасць інтэграла). Калі функцыі і інтэгравальныя на і , то .

(адытыўнасць інтэграла) Калі функцыя інтэгравальная на , то

.

27. Интеграл с переменной верхней границей.

Калі функцыя ёсць інтэгравальная на , то існуе інтэграл

, які называюць інтэгралам са зменнаю верхняю мяжою.

Формулировки теорем

1. Теорема о гранях.

Кожнае непустое абмежаванае зверху [ знізу ] мноства рэчаісных лікаў мае дакладную верхнюю [ ніжнюю ] мяжу.

2. Предельный переход в неравенстве. Теорема о сжатой последовательности.

Тэарэма (пра лімітавы пераход у няроўнасцях). Калі, пачынаючы з некаторага нумара, для элементаў дзвюх збежных лікавых паслядоўнасцяў і праўдзяцца няроўнасці , то ліміты гэтых паслядоўнасцяў праўдзяць няроўнасць .

Тэарэма (пра сціснутую паслядоўнасць, або прынцып двух міліцыянтаў). Калі мае месца няроўнасць і , то і .

3. Критерий сходимости монотонной последовательности.

Тэарэма (Крытэр збежнасці манатоннай паслядоўнасці). Для таго каб манатонная паслядоўнасць была збежнаю, неабходна і дастаткова, каб яна была абмежаванаю.

4. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Тэарэма (Крытэр Кашы збежнасці лікавай паслядоўнасці). Для таго каб лікавая паслядоўнасць была збежнаю, неабходна і дастаткова, каб яна была фундаментальнаю.

5. Принцип выбора (Теорема Больцано-Вейерштрасса).

Тэарэма (Бальцана-Ваерштраса або прынцып выбару). З кожнай абмежаванай лікавай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

6. Критерии Гейне и Коши существования предела функции.

Тэарэма (крытэр Гайне існавання ліміту функцыі). Для таго каб функцыя мела лімітам лік у пункце , неабходна і дастаткова, каб для кожнай лікавай паслядоўнасці значэнняў аргумента функцыі , адпаведная лікавая паслядоўнасць значэнняў функцыі .

Крытэр Кашы (існавання ліміту функцыі). Для існавання ліміту функцыі у пункце неабходна і дастаткова, каб

7. Теорема об односторонних пределах монотонной функции.

Тэарэма (пра аднабаковыя ліміты манатоннай функцыі). Калі функцыя вызначаная і манатонная на інтэрвале , то на гэтым інтэрвале яна можа мець пункты разрыву толькі першага роду, г.зн. у кожным пункце існуюць аднабаковыя ліміты, прычым ( ), калі функцыя ёсць неспадальная (ненарастальная).

8. Непрерывность сложной функции.

Калі функцыя непарыўная ў пункце , прычым , а функцыя непарыўная ў пункце , то складаная функцыя непарыўная ў пункце .

9. Теорема о стабилизации знака непрерывной функции.

Калі функцыя вызначана ў акрузе пункта , непарыўная ў пункце і , то існуе акруга пункта , у якой знак функцыі супа-дае з яе знакам у пункце , г.зн. .

10. Теорема о представлении эквивалентных функций.

Тэарэма (Пра выяўленне эквівалентных функцый). Для таго каб функцыі f(x) i g(x) былі эквівалентнымі ў акрузе пункта , неабходна і дастаткова, каб

11. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (Теорема Больцано-Коши).

Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку і , то для кожнага рэчаіснага ліку γ , які размяшчаецца паміж f(a) і f(b), існуе прынамсі адзін пункт

12. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций.

Першая тэарэма Ваерштраса (пра абмежаванасць функцыі). Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку , то яна абмежаваная на гэтым адрэзку, г.зн. .

Другая тэарэма Ваерштраса (пра дасягальнасць дакладных межаў). Калі функцыя f непарыўная на адрэзку , то яна дасягае на гэтым адрэзку сваіх дакладных ніжняй і верхняй межаў, г. зн.

.

13. Теорема Кантора.

Тэарэма Кантара. Калі функцыя ёсць непарыўная на адрэзку, то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

14. Теорема о представлении дифференцируемой функции.

Для таго, каб функцыя была дыферанцавальнаю ў пункце , неабходна і дастаткова, каб яе прырост ў гэтым пункце меў выяўленне дзе А не залежыць ад . Пры гэтым А= і , або .

15. Теоремы о дифференцировании обратной и сложной функций.

Тэарэма.  Калі строга манатонная і непарыўная на прамежку Х функцыя ёсць дыферэнцавальная ў пункце і , то адваротная функцыя ёсць таксама дыферанцавальная ў адпаведным пункце і яе вытворная ёсць .

Тэарэма  (пра дыферэнцаванне складанай функцыі). Калі функцыя ёсць дыферанцавальная ў пункце , а функцыя – дыферэнцавальная ў пункце , дзе , то складаная функцыя ёсць дыферэнцавальная ў пункце . Пры гэтым .