9. Последовательности вложенных и стягивающихся отрезков.

Паслядоўнасць адрэзкаў лікавай прамой такіх, што называецца паслядоўнасцю ўкладзеных адрэзкаў. Пры гэтым праўдзяцца няроўнасці .

Калі выконваецца роўнасць , то паслядоўнасць укладзеных адрэзкаў называецца паслядоўнасцю сцягвальных адрэзкаў.

10. Подпоследовательность числовой последовательности. Частичный предел.

Няхай ёсць некаторая лікавая паслядоўнасць, а адвольная нарастальная паслядоўнасць натуральных лікаў, г.зн. , прычым Паслядоўнасць , агульны элемент якой , г.зн. паслядоўнасць называюць падпаслядоўнасцю лікавай паслядоўнасці . Такім чынам, калі з паслядоўнасці выбраць элементы з нумарамі , то атрымаецца падпаслядоўнасць . Калі падпаслядоўнасць збежная, то яе ліміт называецца частковым лімітам паслядоўнасці .

11. Фундаментальная числовая последовательность.

Лікавая паслядоўнасць называецца фундаментальнаю, калі

,

або інакш .

12. Предел функции в точке и на , бесконечный предел. Односторонние пределы.

Лік называюць лімітам функцыі у пункце , калі гэтая функцыя вызначана ў некаторай праколатай акрузе пункта ( у самім пункце функцыя можа быць і нявызначанай ) і

, або .

Калі функцыя вызначана ў праколатай акрузе пункта і , то кажуць, што функцыя ёсць бясконца вялікая, або мае сваім лімітам пры , і пішуць . Калі , то пішуць ( пры гэтым ). Калі , то пішуць ( пры гэтым ).

Лік называюць правабаковым (левабаковым) лімітам функцыі у пункце , калі ( ) , што абазначаюць адпаведна ( ). Пры гэтым кажуць таксама, што функцыя мае ліміт , калі імкнецца да справа (злева)

13. Непрерывность функции в точке и на множестве.

Функцыя называецца непарыўнаю ў пункце , калі яна вызначана ў ваколлі гэтага пункта мае ліміт у пункце і . Пры гэтым пункт называецца пунктам непарыўнасці функцыі f . Гэтае азначае:

“на мове ”: ,

і “на мове паслядоўнасцяў”: .

Функцыя называецца непарыўнаю на інтэрвале, калі яна непарыўная ў кожным пункце гэтага інтэрвала. Функцыя называецца непарыўнаю на адрэзку , калі яна непарыўная на інтэрвале і непарыўная справа ў пункце і злева ў пункце .

14. Первая и вторая тэоремы Вейерштрасса.

Першая тэарэма Ваерштраса (пра абмежаванасць функцыі). Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку , то яна абмежаваная на гэтым адрэзку, г.зн. .

Другая тэарэма Ваерштраса (пра дасягальнасць дакладных межаў). Калі функцыя f непарыўная на адрэзку , то яна дасягае на гэтым адрэзку сваіх дакладных ніжняй і верхняй межаў, г. зн.

.

15. Равномерная непрерывность.

Функцыя f(x) называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку X , калі

.

16. Точка разрыва функции. Типы разрывов.

Калі функцыя f вызначана ў праколатай акрузе пункта a , а ў пункце a функцыя не з’яўляецца непарыўнаю, то пункт a называецца пунктам разрыву функцыі f . Такім чынам, пункт ёсць пункт разрыву функцыі , калі не выконваецца прынамсі адна з умоваў: .

Пункт разрыву функцыі называецца пунктам скасавальнага разрыву, калі ў гэтым пункце функцыя мае ліміт, г.зн. існуюць абодва аднабаковыя ліміты і . Пры гэтым у пункце скасавальнага разрыву або нявызначана, або .

Калі існуюць абодва аднабаковыя ліміты, але , то пункт разрыву называецца пунктам скачка .

Пункты скасавальнага разрыву і скачка называюцца пунктамі разрыву першага роду, г.зн. пункты, у якіх існуюць абодва аднабаковыя ліміты.

Функцыю, якая мае на мностве канечную колькасць разрываў толькі першага роду, называюць кавалкава-непарыўнаю на мностве .

Калі ў пункце разрыву не існуе прынамсі адзін з аднабаковых лімітаў, то пункт разрыву называецца пунктам разрыву другога роду.