1.Одновимірні моментні функції другого порядку

Миттєве значення одновимірної початкової моментної функції другого порядку або середній квадрат випадкового процесу в перерізі обчислюється усередненням за ансаблем квадрата випадкової величини :

(4.1)

Для дискретних процесів можна скористатися і таким співвідношенням:

(4.2)

►Приклад. Для процесу, який характеризується в перерізі t_k випадковою дискретною величиною X(t_k)=0,-2,-5,6,8, ймовірності значень якої задані рядом Р(Х_і(t_k), t_k )-0.1;0.2;0.4;0.2;0.1 середній квадрат

►Приклад. Визначити середній квадрат або миттєве значення одновимірної початкової моментної функції другого порядку для випадкової величини з рівномірним законом розподілу:

На відміну від математичного очікування середній квадрат завжди набуває невід’ємних значень.

Розмірність середнього квадрату визначається розмірністю процесу в квадраті: Ось чому, наприклад, у електричних системах середній квадрат співвідноситься до середньої потужності, яка виділяється на резисторі з опором у 1 Ом під час протікання через нього струму в 1 А із постійною та змінною складовими.

►Приклад. Середній квадрат випадкового гармонічного процесу з випадковою амплітудою та рівномірним її законом розподілу і невипадковими іншими параметрами

Одновимірна центральна моментна функція другого порядку є настільки важливою характеристикою випадкових процесів і сигналів, що отримала спеціальну назву дисперсія (розсіювання) та позначення D_X(t_k) або ²_X(t_k).

За означенням дисперсія (одновимірна центральна моментна функція другого порядку) є математичним очікуванням (середнім значенням) квадрата центрованого процесу або квадрата відхилення випадкового процесу від середнього значення:

. (4.3)

Для дискретних процесів дисперсію обчислюють як суму добутків квадратів можливих відхилень миттєвих значень випадкового процесу від середнього на ймовірності відхилень у відповідних перерізах:

(4.4)

Як середній квадрат, так і дисперсія мають розмірність квадрата миттєвого значення випадкового процесу. Наприклад, якщо відповідає напрузі, то має розмірність [В²].

Графічна ілюстрація одновимірної центральної моментної функції другого порядку неперервного та дискретного процесів із однаковими значеннями математичних очікувань показана на рис.4.1та 4.2 відповідно. Як випливає з формул (4.3) та (4.4), чим більше відхилення процесу в обидва боки від середнього значення і чим більше ймовірність цих відхилень, тим більша дисперсія.

Слід звернути увагу і на те, що центральна моментна функція другого порядку (дисперсія), як і інші моментні функції, є функціями невипадковими. Окрім того, середнє статистичне може набувати як додатних, від’ємних так і нульових значень; дисперсія – завжди невід’ємних.

Рисунок 4.1 - Неперервні процеси з однаковим математичними

Очікуваннями і різними дисперсіями.

►Приклад. Дискретний випадковий процес Х(t) у момент t_k характеризується випадковою величиною та ймовірностями її значень . Визначити дисперсію.

Відповідно до (4.4) дисперсія

Рисунок 4.2 - Закони розпроділу ймовірностей двох дискретних