2.Порядок та розмірність момент них функцій

У теорії випадкових процесів розрізняють початкові та центральні моментні функції, для позначення яких використовують такі символи: – для початкової моментної функції; (мю) – для центральної моментної функції.

У зв’язку з тим, що моментні функції пов’язані з перерізами, тобто моментами часу, в які визначені випадкові величини , їх характеризують розмірністю і виділяють серед них, подібно законам розподілу ймовірностей, одновимірні, двовимірні та багатовимірні моментні функції.

Моментні функції, як початкові, так і центральні, крім розмірності, характеризуються ще й порядком для чого в позначенні вводиться нижній індекс. Тоді одновимірній моментній функції відповідає однопозиційний індекс, двовимірній – двопозиційний, а -вимірній – -позиційний. У разі дво- та більше позиційного індексу порядок моментної функції визначається сумою чисел кожної позиції.

►Приклад. Визначити розмірність та порядок моментних функцій.

- одновимірна початкова моментна функція порядку ; - двовимірна початкова моментна функція порядку ; - одновимірна центральна моментна функція другого порядку; - -вимірна центральна моментна функція порядку .

◙

3.Початкові моментні функції. Структура формул

За означенням для випадкового процесу чи сигналу

• одновимірна початкова моментна функція порядку

; (3.1)

• двовимірна початкова моментна функція порядку

(3.2)

• багатовимірна початкова моментна функція -порядку

= =

(3.3)

Основні початкові моментні функції:

• одновимірна початкова моментна функція першого порядку , математичне очікування або середньостатистичне значення випадкового процесу.

Часто математичне очікування позначають через або . У загальному випадку для довільного перерізу індекс можна опустити і тоді середньостатистичне значення буде мати позначення або ;

• одновимірна початкова моментна функція другого порядку або середній квадрат випадкового процесу. Допускається і таке позначення: або без індексу - ;

• двовимірна початкова моментна функція другого порядку для одного випадкового процесу чи сигналу, а для двох випадкових процесів чи сигналів . Щодо назв використовують найрізноманітніші варіанти: функція кореляції процесу або автокореляційна функція (АКФ); функція взаємної кореляції двох процесів або взаємна кореляційна функція (ВКФ).

Центральні моментні функції будь-якого порядку є часовими характеристиками центрованого випадкового процесу, що відрізняється від звичайного (нецентрованого) на величину його математичного очікування. Тобто, якщо – нецентрований випадковий процес, - його математичне очікування, то відповідний центрований випадковий процес . Зустрічаються і інші назви для центрованого процесу : відхилення випадкового процесу від середнього статистичного або флуктуація випадкового процесу.

За своєю структурою співвідношення для центральних моментних функцій збігаються з відповідними співвідношеннями, за якими визначають початкові моментні функції нецентрованих випадкових процесів. Так, багатовимірна порядку центральна моментна функція

=

Основні центральні моментні функції:

• одновимірна центральна моментна функція другого порядку

= ,

яку називають середньостатистичним значенням квадрата центрованого випадкового процесу або просто його дисперсією. Використовують і інші позначення для дисперсії: ;

• двовимірні центральні моментні функції другого порядку:

для центрованого випадкового процесу (його функція кореляції або автокореляційною функція)

;

для двох центрованих випадкових процесів

.