4. Спектральний аналіз інтегруючої системи при дії "білого шуму".

Інтегруюча система. Прикладом такої системи є класичне послідовне електричне RC- коло першого порядку з напругою на ємнісному елементі як її реакцією. Комплексна частотна функція такого кола для зазначеної реакції та вхідної напруги

,

а коефіцієнт передачі потужності

Як відомо спектральна щільність потужності білого шуму . Тоді згідно спектральна щільність потужності стаціонарної реакції на білий шум

Відповідно середня потужність стаціонарної реакції

де - постійна часу системи, - її коефіцієнт загасання, а - частота половинної потужності, що визначає умовну смугу пропускання системи.

Такий самий результат дістанемо за початковим значенням АКФ вказаної реакції.

Збільшення смуги пропускання інтегруючої системи веде до пропорційного підвищення потужності її вихідних процесів.

5. Енергетичний спектр реакції ідеального диференціатора.

Диференціююча система. Реакція ідеального диференціатора

.

Як відомо, результатом диференціювання стаціонарного процесу є процес стаціонарний. Тоді спектральна щільність потужності реакції

.

Комплексна частотна функція ідеального диференціатора . Оскільки квадрат її модуля , то спектр реакції

Останнє співвідношення встановлює зв’язок між спектрами стаціонарних реакції та дії ідеального диференціатора.

Варте уваги те, що в спектрі потужності здиференційованого процесу спостерігається послаблення низькочастотних та підсилення високочастотних складових.

Приклад. На вході ідеального диференціатора діє квазібілий низькочастотний шум, спектр потужності якого

Знайти середню потужність реакції.

Рисунок 15.1- Спектри квазібілого низькочастотного шуму (а) та реакції

На нього ідеального диференціатора (б).

Графіки спектрів потужності реакції та дії зображено на рис. 15.1

Середня потужність реакції (середній квадрат та дисперсія) відповідно пропорційна площі, обмеженій графіком спектра потужності реакції та осями координат:

Оскільки середній квадрат (дисперсія) реакції є обмеженим за значенням, то сама реакція є процесом диференційованим.

ПІДСУМКИ
1.Збільшення смуги пропускання інтегруючої системи веде до пропорційного підвищення потужності її вихідних процесів. 2. Перетворення на зразок «диференціювання» послаблює низькочастотні складові в спектрі дії та підсилює високочастотні.	3. Рівність, яка встановлює зв’язок між спектрами потужності стаціонарних процесів на виході та вході ідеального диференціатора:

6. Шумова смуга лінійної системи: визначення та практична значимість. Обчислення шумової смуги системи у частотній області. Співвідношення між умовною смугою пропускання та шумовою смугою лінійної системи. Визначення шумової смуги системи у часовій області.

Під час інженерних розрахунків лінійних систем, що знаходяться під дією широкосмугового випадкового процесу, оперують поняттям шумової смуги системи або еквівалентної шумової смуги П_ш .

Шумова смуга лінійної системи є смугою пропускання такого ідеального смугового фільтра, для якого:

а) квадрат модуля його комплексної частотної функції (амплітудно-частотної характеристики) дорівнює квадрату максимального значення АЧХ реальної системи; б) середні квадрати реакцій ідеального фільтра та реальної лінійної системи на той самий білий шум збігаються.

Рівність середніх квадратів сигналів на виходах реальної та ідеальної систем у разі дії на них того самого білого шуму з геометричного погляду означає еквівалентність площ, обмежених графіками квадратів модулів КЧФ систем.

Припустімо, що - односторонній спектр білого шуму N(t). Тоді односторонній спектр реакції системи а її середній квадрат

.

У разі дії такого шуму на ідеальний фільтр із вказаними властивостями спектр його реакції , а середній квадрат

Згідно з визначенням шумової смуги пропускання маємо:

Звідки отримаємо формулу для обчислення еквівалентної шумової смуги пропускання лінійної системи:

.

Таким чином, шумова смуга пропускання лінійної системи визначається відношенням площі під графіком квадрата її АЧХ (коефіцієнта передачі потужності) та квадрата максимального значення АЧХ.

Графічна ілюстрація поняття шумової смуги пропускання лінійної системи подана на рис.15.2.

Еквівалентну шумову смугу пропускання системи П_ш можна розглядати як ширину спектра процесу, спектральна щільність потужності якого має максимальне значення . З геометричного погляду у цьому разі за ширину спектра береться основа прямокутника висотою та площею, що дорівнює середньому квадрату процесу Y(t):

.

Ф актично, за такого підходу довільний процес з одностороннім спектром та максимальним його значенням подається іншим процесом із постійною спектральною щільністю потужності в межах смуги частот П_ш, яка вибирається із умови рівності середніх потужностей обох процесів.

Приклад. Для інтегруючої RC- системи першого порядку

Тоді

.

Порівняємо шумову смугу з смугою пропускання зазначеної системи на рівні половинної потужності або, що те саме, на рівні 0,707 (умовною смугою пропускання). Для RC- системи першого порядку, як відомо, умовна смуга пропускання .

Тоді відношення шумової смуги пропускання до умовної смуги

Таким чином, для інтегруючої системи першого порядку шумова смуга пропускання в разів більша за смугу пропускання на рівні половинної потужності.

Перевищення шумової смуги над умовною смугою пропускання є справедливим для будь-яких лінійних систем. Зрозуміло, що відношення для різних лінійних систем буде іншим. Однак, очевидно, чим ближче графік АЧХ реальної системи наближається до прямокутної форми, тим менше відрізняється шумова смуга П_ш від умовної смуги пропускання .

Однією з переваг практичного застосування шумової смуги є можливість описувати реакцію навіть дуже складних систем у разі дії на них шумів тільки двома параметрами: шумовою смугою пропускання П_ш та максимумом коефіцієнта передачі потужності , які можна знайти експериментально.

Приклад. Під час експериментальних досліджень параметрів приймача системи радіозв’язку встановлено, що його коефіцієнт підсилення , а шумова смуга пропускання кГц. Тепловий шум N(t) на вході приймача характеризується рівномірною спектральною щільністю потужності в діапазоні сотень мегагерц, що дає змогу вважати його білим шумом.

Визначити ефективне (середньоквадратичне) значення діючого процесу X(t), яке забезпечує на виході приймача відношення сигнал/шум за потужністю, що не перевищує 100, у разі, якщо спектральна щільність шуму .

Середня потужність шумової складової реакції , а на компоненти реакції, спричиненої дією корисного процесу X(t)

,

де - середня потужність діючого процесу. Тоді відношення сигнал/шум

.

Остаточно, середньоквадратичне значення діючого процесу

.

Для систем, що описуються нераціональними комплексними частотними функціями, більш доцільним є визначення шумової смуги системи не через АЧХ, а імпульсну характеристику .

Відповідно до теореми Парсеваля

.

Шумова смуга пропускання системи

Для інтегруючих систем (системи з властивостями ФНЧ) відповідно до зв'язку між імпульсною характеристикою та комплескною частотною функцією початкове значення АЧХ

.

Враховуючи два попередніх вирази можемо записати формулу для визначення шумової смуги в часовій області:

.

Проте

де - кінцеве (усталене) значення перехідної характеристики системи або її коефіцієнт передачі в режимі постійного сигналу

Отриманий результат дає змогу дійти до такого висновку:

Шумова смуга ЛІВ системи складає половину відношення середнього квадрату реакції системи на дію білого шуму до квадрату математичного очікування цієї самої реакції:

.

Для диференціюючих систем, як відомо,

Таким чином, для визначення максимального значення коефіцієнта потужності у цьому разі слід оцінити початковий стан системи через розрахунок початкового значення перехідної характеристики.

Приклад. Припустімо, що імпульсна характеристика деякої лінійної системи

Тоді

;

,

а шумова смуга системи .

Можна показати, що для такої системи відношення

ПІДСУМКИ

1. Шумову смугу пропускання системи можна розглядати як ширину спектра процесу, односторонній спектр потужності якого збігається з коефіцієнтом потужності системи та набуває максимального значення . 2. У межах шумової смуги довільний процес з одностороннім спектром та максимальним його значенням подається іншим процесом із постійною спектральною щільністю потужності , яка вибирається із умови рівності середніх потужностей процесів. 3. З практичного погляду реакцію дуже складних систем у разі дії на них шумів можна описувати тільки двома параметрами, які можна визначити експериментально: шумовою смугою пропускання та максимумом коефіцієнта передачі потужності.

.4 Формули, які встановлюють взаємозв’язок між шумовою смугою пропускання та характеристиками системи: - у частотній області ; - у часовій області 5. Шумова смуга пропускання завжди набуває більших значень, ніж умовна смуга пропускання. Водночас, чим ближче графік АЧХ реальної системи наближається до прямокутної форми, тим менше відрізняється шумова смуга від умовної смуги пропускання.