3.Статистичні характеристики реакції лінійної системи на дію "білого шуму".

Приклад. Імпульсна характеристика ЛІВ системи g(t)= . На вході системи діє адитивна суміш білого шуму N(t) з нульовим математичним очікуванням та постійної складової В. Обчислити математичне очікування стаціонарного випадкового процесу на виході такої системи.

Згідно з принципом суперпозиції реакція системи складається з суми двох складових та , де – реакція системи на дію білого шуму ; - реакція на дію постійної складової.

За властивостями математичне очікування процесу є сумою математичних очікувань його складових: . Оскільки білий шум характеризується нульовим математичним очікуванням , то

Постійній складовій в реакції відповідає складова , математичне очікування якої

Остаточно, .

Середній квадрат реакції. Для визначення середнього квадрата (середньої потужності) реакції потрібно обчислити математичне очікування добутку двох інтегралів та ввести дві змінні інтегрування.

Тоді у разі нестаціонарної реакції

Середнє статистичне добутку є автокореляційною функцією випадкового процесу з відповідним аргументом:

Тоді

Введемо нову змінну , тоді , а , за умови, що зафіксовано. В результаті отримаємо:

де враховано властивість парної симетрії АКФ функції: .

Інтеграл

називають кореляційним інтегралом або автокореляційною функцією імпульсної характеристики ЛІВ системи , як детермінованого процесу.

4.Статистичні характеристики реакції лінійної системи на дію "білого шуму".

Приклад. Імпульсна характеристика ЛІВ системи g(t)= . На вході системи діє адитивна суміш білого шуму N(t) з нульовим математичним очікуванням та постійної складової В. Обчислити математичне очікування стаціонарного випадкового процесу на виході такої системи.

Згідно з принципом суперпозиції реакція системи складається з суми двох складових та , де – реакція системи на дію білого шуму ; - реакція на дію постійної складової.

За властивостями математичне очікування процесу є сумою математичних очікувань його складових: . Оскільки білий шум характеризується нульовим математичним очікуванням , то

Постійній складовій в реакції відповідає складова , математичне очікування якої

Остаточно, .

Приклад. На конденсатор ємності С діє флуктуаційний струм I(t) як стаціонарний процес на зразок білого шуму з автокореляційною функцією . Визначити дисперсію випадкової напруги U(t) на конденсаторі.

За властивостями дисперсія . Математичне очікування випадкової вихідної напруги набуває нульового значення, оскільки середнє статистичне значення білого шуму дорівнює нулю. Отже, дисперсія напруги збігається з середнім квадратом.

Напруга на конденсаторі з використанням його лінійної моделі пропорційна інтегралу струму, що протікає через нього. Тоді імпульсна характеристика такої системи

Відповідно до (11.10) та з урахуванням (11.9) кореляційний інтеграл

Під час обчислення інтегралу враховано, що добуток двох одиничних ступінчатих функцій із вказаними аргументами, відмінний від нуля і дорівнює одиниці тільки на інтервалі інтегрування [0, t].

Середній квадрат випадкової напруги

де враховано стробувальну властивість дельта-функції. У разі, якщо , то , тоді .

Остаточно дисперсія випадкової напруги на конденсаторі

Залежність дисперсії від часової змінної t вказує на нестаціонарність випадкової напруги на конденсаторі, що узгоджується з раніше отриманим висновком: результатом інтегрування стаціонарного процесу є нестаціонарний процес.

Цей приклад вказує на можливість спрощення розрахунків, якщо кореляційна функція діючого процесу є дельтоподібною, наприклад, коли вхідна дія є білим шумом. Тоді результат фактично визначається кореляційним інтегралом, а точніше, імпульсною характеристикою системи, а отже її властивостями.

Дійсно, кореляційна характеристика білого шуму .

Середній квадрат реакції ЛІВ системи

Якщо , то , а . Тоді

Остаточно,

.

Середній квадрат реакції ЛІВ системи (середня потужність реакції) на дію білого шуму прямо пропорційний площі, обмеженій графіком квадрата її імпульсної характеристики та відповідним відрізком осі абсцис.

Для стаціонарної реакції у всіх наведених співвідношеннях для нестаціонарної реакції слід замість верхньої межі при інтегруванні брати ∞.

ПІДСУМКИ

1.Математичне очікування реакції на виході ЛІВ системи дорівнює нулю за нульового значення середнього статистичного дії або якщо система придушує постійну складову вхідного процесу. 2. У разі, якщо кореляційна функція діючого процесу є дельтоподібною середній квадрат реакції системи її імпульсною характеристикою.

3. Середнє статистичне значення вхідного випадкового процесу під час перетворення ЛІВ системою змінюється прямо пропорційно інтегралу від імпульсної характеристики системи у разі, якщо дія є стаціонарною, та перехідній характеристиці системи за нестаціонарної дії: 4. Формули: - кінцеве значення перехідної характеристики; - математичне очікування стаціонарної реакції; - математичне очікування нестаціонарної реакції; - кореляційний інтеграл.