2. Енергетичний спектр нестаціонарного вп та його зв'язок з кореляційною функцією.

Розглянемо нестаціонарний процес з обмеженою енергією та спектральною щільністю амплітуд , визначеною відповідно до (12.4). У цьому разі, як відмічалось, є випадковою функцією , а її кожна реалізація відповідає певній реалізації процесу .

Згідно з теоремою Парсеваля для окремої реалізації її енергія

(12.5)

Виходячи з визначення інтегралу як суми, величина є енергією спектральної складової реалізації процесу , що відповідає смузі частот .

Як випливає з (12.5) функція

характеризує розподіл енергії реалізації по осі частот і називається спектральною щільністю енергії реалізації або просто її енергетичним спектром.

Розмірність енергетичного спектра реалізації - [енергія/Гц].

Застосовуючи операцію усереднення до ансамблю енергетичних спектрів усіх реалізацій, отримаємо енергетичний спектр нестаціонарного випадкового процесу :

. (12.6)

Ураховуючи те, квадрат модуля , де - комплексно-спряжена до функція, а також (12.4). дістанемо:

(12.7)

де - кореляційна функція нестаціонарного процесу .

Основні властивості спектральної щільності енергії. Відповідно до означення (12.6) спектральна щільність енергії :

• є невід’ємною ( ) і парною відносно частоти;

• не несе інформації про фазові співвідношення спектральних складових;

• є функцією невипадковою та дійсною.

ПІДСУМКИ

1.Парність спектральної щільності енергії дає змогу оцінювати спектральний розподіл енергії процесу тільки за тими його значеннями, що обчислені для додатних значень частоти. 2. Відсутність же у спектрі енергії нестаціонарного процесу його фазових параметрів є причиною неоднозначного поновлення випадкового процесу за його спектром: один і той самий енергетичний спектр може визначати декілька процесів, зокрема, зсунутих у часі.

3.Енергетичний спектр нестаціонарного випадкового процесу = = .

3.Спектральна щільність потужності свп та її фізичний зміст. Спектр флуктуацій (центрованого) свп. Середній квадрат (дисперсія) та спектр свп.

Застосовувати перетворення Фур'є безпосередньо до стаціонарного процесу , кожна реалізація якого з ймовірністю одиниця характеризується нескінченною енергією, неможливо. Для того, щоб це перетворення існувало, слід розглянути не весь процес , а його обмежену частину , визначену на кінцевому часовому інтервалі :

(12.8)

Такий обмеженої тривалості процес має кінцеву енергію і для нього існує як перетворення Фур’є , так і спектральна щільність енергії

.

Проте є функцією не тільки частоти, а і часового інтервалу . Тому доцільно розглядати нормовану відносно Т спектральну енергетичну характеристику

. (12.9)

Відношення енергії до часу визначає потужність. Ось чому називається спектральною щільністю потужності процесу обмеженої тривалості. Спрямувавши та врахувавши, що у цьому разі , дістанемо співвідношення для визначення спектральної щільності потужності стаціонарного процессу :

(12.10)

Спектральну щільність потужності стаціонарного випадкового процесу ще називають енергетичним спектром або спектром потужності.

Отже,спектр потужності відображає розподіл потужності стаціонарного процесу по частотному діапазону і не несе в собі інформації про його фазові параметри.

Обчислимо інтеграл від лівої і правої частин (12.10) в межах :

.

Міняючи місцями операції граничного переходу та інтегрування, а також враховуючи, що математичне очікування від інтегралу дає інтеграл математичного очікування, отримаємо:

.

Поділимо ліву і праву частину останнього співвідношення на та враховуємо теорему Парсеваля. Тоді

Ураховуючи те, що при процес обмеженої тривалості , для стаціонарного випадкового процесу дістанемо:

(12.11)

Відомо, що середній квадрат випадкового процесу визначає його середню потужність, тому є тією частиною повної потужності, якою наділена спектральна складова з частотою із частотного діапазону [ , ].

Тоді

. (12.12)

Спектральна щільність потужності стаціонарного випадкового процесу відображає розподіл його потужності по частотному діапазону і для конкретного значення частоти визначає потужність певної спектральної складової.

У цьому і є фізичний зміст енергетичного спектра .

Розмірність спектральної щільності потужності безпосередньо випливає з (12.12): =амплітуда²/Гц = амплітуда² .с.

Співвідношення (12.11) дає змогу зробити ще і такий висновок:

графік спектральної щільності потужності та вісь абсцис обмежують площу, яка за значенням перевищує потужність нецентрованого випадкового стаціонарного процесу в 2 разів.

Спектральна щільность потужності центрованого випадкового стаціонарного процесу :

У цьому разі

; (12.13)

. (12.14)

Згідно з (12.13) часто називають спектральною щільністю дисперсії.

ПІДСУМКИ

1. Для певного значення частоти спектральна щільність потужності стаціонарного випадкового процесу подає потужність певної спектральної складової. 2. Може існувати декілька періодичних процесів і сигналів із одного і того самого періоду, які мають однакову автокореляційну функцію. 3. Спектр АКФ дає інформацію про розподіл потужностей гармонік періодичного процесу і сигналу по частоті. Такий розподіл можна отримати і на основі процесу (сигналу) за теоремою Парсеваля.

4. Спектр потужності відображає розподіл потужності стаціонарного процесу по частотному діапазону і не несе в собі інформації про його фазові параметри. 5. Розмірність спектральної щільності потужності: амплітуда2/Гц = амплітуда2 .с. 6. Формули: - спектр потужності нецентрованого стаціонарного процесу; - взаємо- зв’язок спектра потужності нецентрованого стаціонарного процесу з середнім квадратом; - взаємо-зв’язок спектра потужності центрованого стаціонарного процесу з диперсією; - спектр потужності центрованого стаціонарного випадкового процесу.