4. Вычислите криволинейный интеграл по формуле Грина, если г замкнутый контур оаво. О(0,0), a(2, ),b(1,1).

ОА-отрезок АВ-дуга гиперболы xy=1 ВО-отрезок. (4 балла)

Решение:

Формула Грина: = dxdy.

=1; =-1;

2 =2( + )= - +2ln2=2ln2.

Ответ:2ln2.

5.Вычислите массу части поверхности z= ,x ,z ,если µ(x,y,z)=x.

Решение:

m= -формула для вычисления массы;

m= , dV=dxdydz.

Проецируем конус на плоскость YOZ.

m= =8 =128-64=64.

Ответ:m=64.

6.Исследуйте числовые ряды на сходимость.(4 Балла)

.

Знакочередующийся ряд, применим интегральный признак Коши.

= . Исследуя данный вид несобственных интегралов, мы утверждали, что если степень x в знаменателе равна или меньше единицы, то данный интеграл расходился. Значит ,полученный несобственный интеграл расходится. Значит ,наш ряд также расходится.

Билет17.

1.Выпишите формулы для вычисления статических моментов и координат центра масс неоднородных материальных пластинок. Приведите примеры(6 баллов).

= = – координаты центра масс.

= = –статические моменты инерции соответственно относительно оси OY и OX.

Пример: m=1; µ(P)= ; =1-пластина. Найти - ?.

= = = = *0=0.

2. Сформулируйте и докажите свойства соленоидального векторного поля. (6 баллов)

Определение соленоидального поля. Векторное поле а(M) называется соленоидаль-ным в области V, если во всех точках этой области div=M(a)=0.

Согласно этому определению, поле не может иметь в области V источников и стоков; таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: rotdivM(a)=0.

18.2.2. Свойства соленоидального поля.

1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность σ, ограничивающую область V∈σ, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.

2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность σ достаточно для соленоидальности поля (M).

3. Пусть в V имеется изолированный источник (или сток) поля. Если поле (M) соле-ноидально, то его поток через любую замкнутую поверхность σ, содержащую этот источник, имеет одно и то же значение.

Фраза " в V имеется изолированный источник (или сток) поля" означает, что об-ласть V, в которой поле соленоидально, неодносвязна; из V выколота точка, в которой находится источник.

Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение вектор-ной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверх-ность трубки равен нулю.

3.Напишите разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций и укажите области пригодности таких разложений. (6 баллов)

.

Все производные этой функции в точке х=0 равны , поэтому ряд имеет вид

.

Область сходимости этого ряда - вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда), поэтому при . Как следствие, остаточный член формулы Тейлора . Поэтому ряд сходится к в любой точке х.

3. .

Здесь

дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид

.

Этот ряд абсолютно сходится при , и его сумма действительно равна . Остаточный член формулы Тейлора имеет вид , где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения).

4. .

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

.

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

6. .

Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.

… Ряд Маклорена имеет вид

Ищем интервал сходимости: , следовательно, интервал сходимости есть . Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при ряд абсолютно сходится в обеих точках , при ряд условно сходится в точке и расходится в точке , при расходится в обеих точках.

7. .

Здесь мы воспользуемся тем, что . Так как , то, после почленного интегрирования,

.

Область сходимости этого ряда - полуинтервал , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х=1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х=1 слева. Отметим, что взяв х=1, мы найдём сумму ряда .