2.6. Энергия и поток энергии бегущей монохроматической волны

Рассчитаем энергетические характеристики (вектор Пойнтинга П и плотность электромагнитной энергии w) плоской бегущей монохроматической волны. Сначала покажем, каким образом эти величины выражаются через комплексные амплитуды векторов поля.

Вещественные значения E, H векторов поля можно выразить через их комплексные амплитуды следующим образом:

где символ «*» обозначает комплексно-сопряжённые величины. Подставляя в определение (1.23) вектора Пойнтинга, имеем:

Первое слагаемое в правой части не зависит от времени, а второе изменяется во времени гармонически с частотой 2ω.

Для среднего значения вектора П за период колебаний Т, получим

Таким образом, первое, постоянное слагаемое вектора Пойнтинга – это среднее за период колебаний значение плотности потока энергии электромагнитной волны. Второе слагаемое называют колеблющейся составляющей вектора Пойнтинга:

среднее значение этой величины за период колебаний Т равно нулю.

На практике обычно интересуются средним значением вектора Пойнтинга. Поля в электромагнитных волнах колеблются с достаточно большими частотами, поэтому именно это значение фиксируют измерительные приборы. Ввиду своей важности величина получила особое название: интенсивность волны.

Аналогичную структуру имеют выражения для плотности энергии электрического и магнитного поля; они также включают в себя среднее значение и колеблющуюся составляющую:

В качестве простейшего примера рассчитаем энергетические характеристики плоской монохроматической волны с линейной поляризацией, распространяющейся в направлении оси Оz в однородном изотропном диэлектрике без потерь.

Пусть волна имеет компоненты полей

(буквой А здесь обозначена амплитуда колебаний магнитного вектора). Вектор Пойнтинга при этом будет иметь только z-составляющую:

где . Выделяя вещественные части полей и подставляя их в , получаем, что включает в себя постоянное среднее значение и колеблющуюся составляющую:

где (разумеется, тот же результат получится и путём расчётов в комплексном виде согласно ). Интенсивность отлична от нуля, что говорит о переносе энергии бегущей волной в направлении её распространения (ось z).

Для плотностей энергии и получаем:

Видно, что мгновенные значения и колеблются около своих средних значений и с удвоенной частотой 2ω, причём эти колебания совпадают по частоте и фазе с колебаниями плотности потока энергии . Заметим, что (это легко показать, используя определение импеданса Z).

Суммарная средняя плотность электромагнитной энергии равна

Интенсивность волны связана с величиной соотношением

или в векторном виде

где − фазовая скорость волны. Это означает, что средняя электромагнитная энергия, которой обладает бегущая волн, переносится в направлении распространения волны.

Заметим, что к такому результату приводит тот факт, что векторы поля данной волны совершают колебания в одинаковых фазах. По аналогии с теорией цепей переменного тока переносимую волной мощность в этом случае принято называть активной. Если же перенос электромагнитной энергии в определённом направлении отсутствует, т.е. вектор Пойнтинга имеет только колеблющуюся составляющую, то говорят о реактивной мощности (энергии) колебаний. Этот случай будет рассмотрен далее на примере стоячей электромагнитной волны.