2. Плоские монохроматические волны в однородной изотропной среде без потерь
2.1. Метод комплексных амплитуд для гармонических колебаний
Монохроматической волной называется электромагнитная волна, поле которой является гармонической функцией времени:
(u
− компонента одного из векторов поля).
Здесь аргумент косинуса
,
определяющий мгновенное значение
функции
,
называется фазой;
A
и α
–
соответственно амплитудa
и начальная
фаза величины
u;
– циклическая
частота
колебаний, где Т
– период,
f
– частота.
Чаще всего в зависимостях вида
используется циклическая частота
,
причём слово «циклическая» для краткости
обычно опускают. Амплитуда и начальная
фаза в общем случае являются функциями
координат.
В основе метода комплексных амплитуд для гармонических функций времени лежит формула Эйлера:
где i – мнимая единица. На формуле основана связь между экспоненциальной (тригонометрической) и алгебраической формой записи комплексного числа:
где
− модуль
комплексного числа
,
φ
– его аргумент
(фаза),
– вещественная
часть числа
,
– его мнимая
часть. Модуль
и аргумент комплексного числа
(
,
)
определяются соотношениями
где
− комплексно-сопряжённое число.
В соответствии с , функцию можно представить в виде
где величина
называется комплексной
амплитудой
комплексной функции
.
Сравнивая с , видим, что модуль
и фаза α
комплексной амплитуды
совпадают с амплитудой и начальной
фазой величины u(t).
Комплексная гармоническая функция
и соответствующая вещественная величина
u(t)
обозначаются одной и той же буквой. Для
их различия комплексные числа, в том
числе и комплексные амплитуды, будут
обозначаться «тильдой» над буквой.
В некоторых пособиях комплексность
величины обозначается точкой или
«шляпкой» над буквой:
.
Если нет особой необходимости различать
комплексные и вещественные величины,
то значок комплексности может опускаться.
Таким образом, в теоретических выкладках можно представлять монохроматические поля не в виде вещественных гармонических функций синуса или косинуса, а в комплексной форме. Для получения реально наблюдаемой величины необходимо выделить вещественную часть соответствующего комплексного выражения.
Следует отметить,
что над комплексными функциями нельзя
выполнять такие операции как умножение,
деление, возведение в степень − для
этого необходимо выделять их вещественную
часть. Например, при вычислении
произведения двух комплексных чисел
и
возможна ошибка из-за того, что,
.
С такой ситуацией мы столкнёмся в п. 2.6
при вычислении плотности энергии и
вектора Пойнтинга монохроматической
волны.
Внимание!
Вещественная
часть комплексного числа не зависит от
выбора знака его фазы. Поэтому в
представлении временной множитель
можно записать и как
.
Это не влияет на вещественную часть
результата, однако сказывается на виде
формул, содержащих комплексные числа.
В данном пособии временной множитель
всегда записывается в виде
.
При работе же с другими пособиями
необходимо, прежде всего, выяснить,
какой знак перед мнимой единицей
используют его авторы.