1.3. Граничные условия для векторов электромагнитного поля

Часто в задачах электродинамики рассматриваются различные части пространства, разделённые границами раздела и отличающиеся материальными параметрами. Тогда к системе уравнений Максвелла и материальным уравнениям приходится добавлять граничные условия – соотношения между векторными характеристиками поля по обе стороны от границы раздела. Сами уравнения Максвелла для вычислений на границах раздела непригодны, так как входящие в них векторные функции координат на границах являются разрывными и их нельзя дифференцировать.

Приведём без вывода граничные условия для всех четырёх векторных характеристик электромагнитного поля. Они выводятся для плоских границ раздела, но ввиду дифференциального характера применимы для границ любой формы.

Рассмотрим границу раздела сред 1 и 2 с параметрами и соответственно. Пусть – единичный вектор нормали к границе раздела, направленный из среды 1 в среду 2.

I. Граничное условие для вектора Е:

,

т.е. тангенциальная (параллельная границе раздела) составляющая вектора Е непрерывна на границе раздела сред.

II. Граничное условие для вектора Н:

,

т.е. тангенциальная (параллельная границе раздела) составляющая вектора Н на границе раздела испытывает скачок, равный плотности поверхностного тока  (эта величина измеряется в А/м). Поверхностный ток протекает в бесконечно тонком слое на границе раздела. Он существует, если одна из сред является идеальным проводником, для которого удельная проводимость (подробнее см. гл. 5). При конечных значениях , а также для диэлектриков ( )  = 0 и условие имеет вид

т.е. касательная (тангенциальная) составляющая вектора Н непрерывна на границе раздела сред.

III. Граничное условие для вектора D:

т.е. нормальная составляющая вектора D на границе раздела испытывает скачок, равный поверхностной плотности заряда .

IV. Граничное условие для вектора В:

т.е. нормальная составляющая вектора B непрерывна на границе раздела.

1.4. Закон сохранения энергии электромагнитного поля. Плотность и поток энергии

Рассмотрим некоторый замкнутый объём пространства V, содержащий электромагнитное поле и движущиеся электрические заряды, т.е. токи. Для получения соотношения, описывающего изменение энергии поля, заключённого в данном объёме, используем тождество векторного анализа

С учетом уравнений Максвелла I и II системы

Для изотропной среды

и, аналогично,

Величины

называются плотностью энергии электрического (магнитного) поля (единица измерения плотности энергии − Дж/м³). Векторная величина

измеряемая в Дж/м²∙с (или Вт/м²) получила название вектора Пойнтинга. Выражение

определяет плотность мощности взаимодействия поля с током j (измеряется в Вт/м³). В результате этого взаимодействия происходит взаимопревращение различных форм энергии друг в друга. В общем случае величина р включает в себя плотность мощности всех токов в среде:

- токов проводимости, т.е. потерь на выделение джоулева тепла, величина которых определяется дифференциальной формой закона Джоуля – Ленца ;

- конвекционных токов ;

- сторонних токов (последняя величина может быть как положительной, так и отрицательной).

В результате имеем соотношение

,

где величина определяет плотность электромагнитной энергии, т.е. энергию электромагнитного поля в единице объёма пространства. Выражение представляет собой закон сохранения электромагнитной энергии в дифференциальной форме.

Проинтегрируем обе части соотношения по объёму V. Применяя теорему Гаусса – Остроградского

получаем интегральную форму закона сохранения электромагнитной энергии:

где − электромагнитная энергия, заключённая в объёме V,

       − поток энергии через замкнутую поверхность S, ограничивающую объём V,

       − мощность взаимодействия поля с токами в объёме V. Все величины в измеряются в Дж/с или Вт.

Поток энергии характеризует количество электромагнитной энергии, проходящей через поверхность S в единицу времени (т.е. мощность). Поток положителен, если энергия покидает объём V через поверхность S и отрицателен, если энергия поступает в объём извне. Соответственно, вектор Пойнтинга П определяет количество энергии, переносимое в единицу времени через поверхность единичной площади. Таким образом, он имеет смысл плотности потока энергии (плотности мощности). Направление вектора П определяет направление переноса электромагнитной энергии в данной точке пространства.

Величина Р учитывает изменение энергии W в объёме V за счёт потерь, т.е. перехода её в другие виды энергии, а также за счёт работы сторонних сил. Таким образом, имеет следующий смысл: энергия поля, заключённого в некотором объёме, изменяется за счёт переноса энергии через ограничивающую этот объём поверхность, а также работы токов и сторонних сил в этом объёме. Если токи в среде отсутствуют, то уравнения и принимают вид

,

.