1.2. Материальные уравнения. Классификация сред в электродинамике

В задачах электродинамики обычно требуется по заданному распределению электрических зарядов ρ(r, t) и токов j(r, t) определить четыре вектора E, B, D и H как функции координат и времени. При этом система уравнений Максвелла содержит два векторных и два скалярных уравнения, чего недостаточно для нахождения четырех векторных величин. Однако между характеристиками поля существует связь, которую можно обнаружить, рассмотрев электродинамические свойства среды, в которой существует поле. Феноменологически, т.е. без углубления в микроскопическую теорию, эти свойства учитываются следующим образом.

Под воздействием электрического поля напряжённостью Е единица объёма вещества приобретает электрический дипольный момент Р (вектор поляризации или поляризованность вещества). Вектор Р связан с напряжённостью Е соотношением

где = 8,85·10 ^–12 Ф/м – электрическая постоянная, а безразмерная величина – диэлектрическая восприимчивость вещества. Вектор электрической индукции D определяется как

Вводя обозначение , запишем:

где безразмерная величина ε называется диэлектрической проницаемостью вещества.

Аналогично, под воздействием магнитного поля напряжённостью Н единица объёма вещества приобретает магнитный момент М (намагниченность вещества):

где безразмерная величина χ – магнитная восприимчивость вещества. Вектор магнитной индукции В связан с векторами М и Н соотношением

где  = 4π·10 ^–7 Гн/м – магнитная постоянная или

где введена магнитная проницаемость вещества .

Для проводящих сред к уравнениям Максвелла следует добавить закон Ома в дифференциальной форме, определяющий плотность тока проводимости:

где – удельная проводимость вещества (единица измерения – См/м).

Уравнения , и , добавляемые к уравнениям Максвелла для учёта свойств среды, называются материальными уравнениями. Входящие в них величины ε, μ и σ, характеризующие электромагнитные свойства среды, называются материальными параметрами или материальными константами.

В зависимости от свойств материальных констант проводится классификация сред в электродинамике.

Если материальные константы не зависят от величин Е и Н, то среда называется линейной, а если такая зависимость наблюдается, то нелинейной.

Среда называется однородной, если её параметры не зависят от координат, и неоднородной, если такая зависимость имеется.

Среда называется изотропной, если характер протекания электромагнитных процессов в ней не зависит от направления векторов Е и Н. В изотропных средах параметры ε и μ являются обычными скалярными величинами, поэтому векторы Е и D, В и Н параллельны друг другу. В анизотропных средах векторы Е и D, В и Н в общем случае не параллельны. При этом характер связи между векторами Е и D, В и Н зависит от ориентации векторов Е и Н относительно некоторых выделенных направлений в пространстве. Эта связь имеет уже более сложный вид и уравнения , содержат по девять скалярных материальных констант, образующих тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей среды (подробнее см. главу 6). Тензором может быть и удельная проводимость в .

Среда называется диспергирующей, если значения векторов Р и М (или D и В) в данной точке в данный момент времени зависят от значений векторов Е и Н в других точках пространства (пространственная дисперсия) и в другие (предшествующие) моменты времени (временная, или частотная, дисперсия). Для монохроматических полей дисперсия среды проявляется в зависимости материальных параметров от волнового вектора k в случае пространственной и частоты ω в случае временной дисперсии.