6. Электромагнитные волны в анизотропных средах

6.1. Общие свойства плоских монохроматических волн в анизотропных средах

При распространении электромагнитной волны в изотропной среде выделено только направление волнового вектора. В анизотропной среде появляются новые выделенные направления, которые связаны со структурой среды (как, например, в кристаллах), или же с внешними полями (магнитным, электрическим), в которых среда находится.

Для анизотропных сред основополагающие уравнения электродинамики – уравнения Максвелла – сохраняют свой вид. Однако усложняются материальные уравнения (1.12) и (1.15). Векторы D и Е, В и Н здесь, не являются коллинеарными и каждая декартова компонента векторов D и В зависит от каждой компоненты векторов Е и Н:

Соотношения можно записать и более компактно:

где i, j = x, y, z.

Совокупность девяти величин , связывающих компоненты векторов D и Е, называют тензором диэлектрической проницаемости и записывают в виде матрицы; аналогично вводится тензор магнитной проницаемости :

В тензорной форме записи материальные уравнения принимают вид:

Для проводящих анизотропных сред удельная электропроводность σ в уравнении (1.16) также может быть тензорной величиной.

Компоненты тензоров и в общем случае являются комплексными величинами, некоторые из которых при определённых условиях могут равняться нулю. Для частного случая изотропной среды равны нулю все недиагональные компоненты обоих тензоров, а диагональные имеют одинаковые значения: , . Можно показать, что для прозрачных сред тензоры и должны быть симметричными, т.е. их недиагональные компоненты, отличающиеся перестановкой индексов, равны друг другу: , при . Таким образом, тензоры и прозрачной среды в общем случае содержат только по шесть независимых компонент.

Известно, что любой симметричный тензор за счёт выбора системы координат можно привести к диагональному виду, когда все недиагональные компоненты обращаются в нуль:

Оси системы координат, в которой тензор ( ) принимает вид , называются главными диэлектрическими (магнитными) осями, а величины и − соответственно главными диэлектрическими (магнитными) проницаемостями. Материальные уравнения и многие другие соотношения для анизотропной среды в главных осях имеют наиболее простой вид.

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну в прозрачной анизотропной среде, свободной от зарядов и токов проводимости. Тогда все четыре вектора D, Е, В и Н в комплексном представлении имеют аналогичный вид:

где и − постоянные. После подстановки выражений система уравнений Максвелла (1.1) (с учётом ρ = 0, j = 0) примет вид

Среды, в которых одновременно присутствует анизотропия как диэлектрической, так и магнитной проницаемости, встречаются сравнительно редко. Поэтому оба вида анизотропии электромагнитных свойств будем рассматривать раздельно.

I. Среда с анизотропией диэлектрической проницаемости, материальные уравнения для которой имеют вид

где μ – скаляр. С учётом уравнения Максвелла запишутся как

Из уравнений III и IV системы вытекает, что и , т.е. волна является поперечной в отношении вектора электрической индукции D и вектора напряжённости магнитного поля Н (а также вектора магнитной индукции В, коллинеарного Н). Из уравнения II следует, что , а из уравнения I − что . Это означает, что векторы Е, D и k лежат в одной плоскости, перпендикулярной вектору Н, но Е и D при этом не коллинеарны вследствие анизотропии диэлектрической проницаемости. Взаимное расположение перечисленных векторов показано на рис. 6.1а.

Плоскость волновой поверхности определяют векторы D и Н, а вектор Е не лежит в этой плоскости. Значит, вектор Пойнтинга не коллинеарен вектору k. Таким образом, в анизотропной среде направление плотности потока энергии не совпадает с направлением волнового вектора. При этом вектор Пойнтинга П вместе с векторами Е, D и k лежит в плоскости, перпендикулярной векторам Н и В (см. рис. 6.1а).

Рис. 6.1.

II. Среда с анизотропией магнитной проницаемости с материальными уравнениями вида

Уравнения Максвелла при этом принимают вид

Из уравнений системы вытекает, что , и . Таким образом, векторы Е и В лежат в плоскости волновой поверхности. Вектор Н не коллинеарен вектору В и не лежит в этой плоскости; по этой же причине вектор Пойнтинга П не коллинеарен волновому вектору k. Векторы В, Н, k и П лежат в одной плоскости, перпендикулярной векторам Е, D. Взаимное расположение этих векторов для среды с магнитной анизотропией показано на рис. 6.1б.

Далее, для определённости, будем рассматривать первый случай среды с анизотропией диэлектрической проницаемости. Получим из системы волновое уравнение для вектора Е. Для этого выразим из уравнения I вектор Н и подставим его в уравнение II. Имеем:

где − волновое число для вакуума. Раскрывая в двойное векторное произведение, получаем уравнение

В проекциях на оси координат даёт систему трёх линейных однородных уравнений в переменных (i = x, y, z). Такая система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю. Запишем это условие, выбирая в качестве осей координат главные диэлектрические оси:

Раскрывая определитель в , приходим к уравнению:

где введён вектор с компонентами ( ), модуль которого равен показателю преломления волны, распространяющейся в данном направлении. Уравнение называют уравнением Френеля или дисперсионным уравнением, поскольку оно позволяет определить зависимость волнового числа от частоты (от частоты в зависят компоненты тензора диэлектрической проницаемости ).

Для волны фиксированной частоты ω уравнение Френеля является квадратным уравнением относительно квадрата волнового числа. Для каждого направления в пространстве существует два положительных корня этого уравнения, т.е. два значения волнового числа k и показателя преломления n. Например, при распространении вдоль главной оси z следует положить , . Тогда принимает вид

откуда находим два показателя преломления и .

Таким образом, в заданном направлении в анизотропной среде могут распространяться две независимые (нормальные) волны, различающиеся волновыми числами и, соответственно, фазовыми скоростями. Можно показать, что в отношении вектора D нормальные волны линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.

Как уже отмечалось, для волны в анизотропной среде следует различать направление распространения фазы волны (т.е. волнового вектора k) и направление переноса энергии (в кристаллооптике его принято называть лучом). Соответственно, помимо фазовой скорости , рассматривается скорость переноса энергии (лучевая скорость ). Она направлена по вектору Пойнтинга П и определяется согласно (2.47) как отношение интенсивности волны к средней плотности её энергии:

Лучевая скорость в анизотропной среде отличается от фазовой как направлением (ввиду несовпадения ориентаций векторов k и П), так и по модулю. Можно показать, что по величине равна групповой скорости волны и связана с фазовой скоростью соотношением где α − угол между векторами k и П (см. рис. 6.1).