3.4. Волны в плоскослоистой периодической среде. Дисперсионное уравнение для собственных волн.

Рассмотрим двухслойную периодическую структуру, состоящую из чередующихся слоёв диэлектриков с толщинами и , имеющих диэлектрические проницаемости и (рис.3.5). Два соседних слоя составляют период структуры . Пусть электромагнитная волна распространяется вдоль оси периодичности структуры z, направленной перпендикулярно границам раздела. Будем предполагать, что в плоскости слоёв поля не зависят от координат x и y (плоская волна). Тогда в каждом из слоёв распространение собственных волн можно описать с помощью одномерного волнового уравнения вида (1.32):

где и — компонента поля волны, v − ее фазовая скорость в среде. При подстановке решения в виде уравнение приводит к уравнению Хилла

где волновое число является периодической (ступенчатой) функцией координаты z (см. рис. 3.5б):

(индексы 1 и 2 обозначают принадлежность к слоям с различными параметрами). Уравнение Гельмгольца, в котором , является частным случаем уравнения Хилла.

Рис. 3.5.

Для ступенчатой функции уравнение Хилла решается следующим образом. Для каждого из двух соседних слоёв запишем решение уравнения Гельмгольца в виде суперпозиции двух встречных волн:

Для определения четырех констант и (j =1, 2) следует учесть непрерывность как самого поля , так и его производной на границах раздела. Непрерывность производной обусловлена тем, что, согласно уравнениям Максвелла I и II системы (2.6), связь между электрическим и магнитным полями волны устанавливается с помощью производных по координате (операция ротора).

На границе имеем

Кроме того, решение должно удовлетворять условию периодичности, т.е. поля на границах периода при z = 0 и z = d могут отличаться только на фазовый множитель

Соотношение (3.6) носит название теоремы Флоке, сформулированной в 1883 году. В дальнейшем эта теорема была применена Блохом в 1928 году к решению уравнения в частных производных с периодическими коэффициентами. Решения Блоха легли в основу электронной теории твердого тела. Волновое число называется блоховским волновым числом.

Подставляя поля в соотношения и , получаем:

Формулы являются линейной однородной системой уравнений относительно неизвестных , , и . Её нетривиальное решение существует лишь в том случае, если определитель системы равен нулю. Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение

где введены обозначения

По теореме Виета для корней уравнения имеем , т.е. , и . В итоге получаем дисперсионное уравнение рассматриваемой структуры, связывающее волновое число с известными величинами и :

Случай соответствует полосе прозрачности структуры. Если же , то мы попадаем в полосу непропускания (волновое число будет мнимым и волна становится экспоненциально затухающей).

Рис. 3.6.

Анализ дисперсионного уравнения достаточно сложен, поэтому рассмотрим частный случай, положив . Это означает, что при распространении в каждом из слоёв фаза волны изменяется на одну и ту же величину. При этом принимает вид

.

На рис.3.6а построена правая часть . Точки пересечения с прямой −1 соответствуют границам областей непрозрачности, которые на рисунке заштрихованы. Рис. 3.6б иллюстрирует зависимость волнового числа от частоты , т. е. вид закона дисперсии.