Сюръективность
Основная статья: Сюръекция
Функция
называется сюръективной (или,
коротко, сюръекция),
если каждому элементу множества прибытия
может быть сопоставлен хотя бы один
элемент области определения. Другими
словами, функция
сюръективна,
если образ множества
при
отображении совпадает с множеством
: 
.
Такое отображение называется ещё отображением на.
Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.
Теорема о биективности отображения f:A ->B, для которого существует отображение g: B ->A с соотношениями g▫ f=1A и f ▫g =1B.
Биекция
Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.
Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.
Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).
Определение
Функция 
называется биекцией (и
обозначается 
),
если она:
Переводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). Иными словами,
.
Любой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
.
Примеры
Тождественное отображение
на
множестве
биективно.
—
биективные
функции из 
в
себя. Вообще,
любой моном одной переменной нечетной степени является
биекцией из
в
себя.
—
биективная
функция из
в 
.
не
является биективной функцией, если
считать её определённой на всём
.
Свойства
Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция
такая,
что
и 
Если функции и
биективны,
то и композиция функций 
биективна,
в этом случае 
.
Коротко: композиция биекций
является биекцией. Обратное,
однако, неверно: если
биективна,
то мы можем утверждать лишь,
что
инъективна,
а
сюръективна.
Понятие о равномощности множеств. Счетные множества. Теорема о счетности или конечности объединения счетного числа конечных множеств. Пример применения теоремы к доказательству счетности множества всех слов над конечным алфавитом.
Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.
Понятие о равномощности множеств. Счетные множества. Теорема о счетности счетного объединения счетных или конечных множеств. Пример применения теоремы к доказательству счетности множества всех конечных подмножеств в множестве всех слов над конечным алфавитом.
Начнем с некоторых обозначений: через Теорема
1.
Пусть Доказательство. Так
как Следствие
2. Пусть Доказательство. Легко понять, что объединение счетного числа конечных попарно пересекающихся множеств счетно. Для этого достаточно применить теорему 1, дополнив каждое конечное множество до счетного таким образом, чтобы эти расширенные множества по-прежнему попарно не пересекались. Разобьем совокупность всех данных множеств на две группы:
Множество Теорема
3. Пусть
,…
– счетная совокупность счетных
множеств и Доказательство. Построим
счетную совокупность конечных или
счетных попарно непересекающихся
множеств, объединение которых
равно А: Следствие 4. Пусть ,… – счетная совокупность конечных или счетных попарно различных множеств. Тогда множество … счетно. Теорема
5. Пусть А и В счетные
множества. Тогда декартово
произведение Доказательство. Перечислим
элементы множеств А и В: А=
.…………………………………….
Очевидно,
что Следствие
6. Пусть Доказательство. Доказывается легко индукцией по m. С помощью доказанных теорем можно установить счетность некоторых общераспространенных множеств. Теорема 7. Множество рациональных чисел Q счетно. Доказательство. Множество
целых чисел Z счетно,
значит и множество Определение 8. а)
Число б) Число называется алгебраическим, если оно есть алгебраическое некоторой степени. Примеры. 1) Любое
рациональное число а:
b является
алгебраическим степени 1, так как оно
является корнем целочисленного
уравнения 2) Число 3) Докажем,
что
Теорема 9. Множество алгебраических чисел счетно. Доказательство. Каждый
многочлен
степени n |
|
обозначим
множество всех простых чисел. Нами
было доказано, что Р бесконечно,
кроме того, Р является
подмножеством счетного множества,
значит Р счетно.
Обозначим через 
–
множество всех степеней простого
числа 
.
Например 
.
Ясно, что для любого 
счетно
и для любых i, j,
, 
, 
Ø.
Наконец, обозначим через 
–
множество всех степеней всех простых
чисел. Поскольку 
и
бесконечно, то 
является
счетным множеством.
,…
– счетная совокупность счетных попарно
непересекающихся множеств. Тогда
множество 
также
является счетным.
и
счетные
множества, то существует биекция 
.
Так как
попарно
не пересекаются, то семейство
отображений 
согласовано.
Так как 
попарно
не пересекаются, то 
является
биекцией между множествами 
и
,
то есть 
.
Теорема доказана.
–
счетная совокупность счетных или
конечных множеств
,
которые попарно не пересекаются.
Тогда
счетно.
-
все конечные множества исходной
совокупности,
-
все счетные множества исходной
совокупности.
конечно
или счетно, множество 
счетно,
причем 
Ø.
По доказанному ранее 
счетно.
Следствие доказано.
.
Тогда А счетное
множество.
, 
, 
,…,
.
Очевидно, что 
Ø
при
и 
= А.
По следствию 2 множество 
счетно.
также
является счетным множеством.
, 
Тогда
= 
Разобьем
на
счетное объединение счетных множеств:
,
,
.
Ø
при
,
т.к. 
,
и 
=А
В,
то есть
есть
объединение счетного числа счетных
попарно непересекающихся множеств.
Значит
счетно.
–
счетные множества, тогда 
–
счетно.
счетно.
Множество Z
также
счетно. Каждой паре (a;
b),
где 
поставим
в соответствие рациональное число а: b.
Это отображение 
является
отображением “на”, поэтому Q не
более чем счетно, а так как оно
бесконечно, то 
.
называется
алгебраическим числом степени n,
если
есть
корень целочисленного многочлена 
.
.
является
алгебраическим числом степени 2, так
как является корнем целочисленного
уравнения 
.
является
алгебраическим числом степени 6. В
самом деле,
.
+
полностью определяется набором целых
чисел 
длины n+1.
Поэтому целочисленных многочленов
существует столько же, сколько
существует таких наборов, то есть 
,
но 
.
Таким образом, целочисленных многочленов
степени n существует
счетное число. Пусть 
-
множество всех целочисленных многочленов
степени n и 
-
множество всех целочисленных
многочленов. Так как Р есть
счетное объединение счетных множеств,
то оно само счетно. Итак, множество
всех целочисленных многочленов имеет
счетную мощность. Перечислим все его
элементы: P=
.
Индекс сверху показывает степень
многочлена
.
По основной теореме алгебры
многочлен 
имеет 
корней.
Обозначим через 
конечное
множество всех корней многочлена
.
Тогда 
есть
множество всех алгебраических чисел.
Поскольку А есть
счетное объединение конечных множеств,
то А счетно.
Теорема доказана.
Понятие о равномощности множеств. Счетные множества. Теорема о счетности произведения счетных множеств. Доказательство счетности множества рациональных чисел.
Мощность континуума. Теорема Кантора о несчетности множества точек на отрезке [0;1].
Понятие равномощности множеств. Теорема Кантора - Бернштейна о равномощности двух множеств (без доказательства). Примеры доказательства равномощности некоторых множеств с использованием теоремы Кантора-Бернштейна (например, множества действительных чисел R и отрезка [0;1]).