Е.М. Бениаминов

Вопросы к курсу «Алгебра»

для студентов 1-го курса ИС ИЛ (1семестр)

Тема 1. Элементы комбинаторики

1. Размещения и перестановки. Определения и формулы. Применение определений к задачам об извлечении шаров из урны.

Определение. Размещениями множества из   различных элементов по   элементов   называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Теорема. Число размещений множества из   элементов по  элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы  . Пусть   — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим   — первый элемент размещения. Из данной совокупности   элементов его можно выбрать   различными способами. После выбора первого элемента   для второго элемента   остается   способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой.

Определение. Перестановкой множества из   элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число всех перестановок из   элементов обозначается   (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

2. Сочетания. Определение и формулы. Применение определений к задачам об извлечении шаров из урны.

Определение. Сочетаниями из   различных элементов по   элементов называются комбинации, которые составлены из данных   элементов по   элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря,  -элементные подмножества данного множества из   элементов).

 

Доказательство. Рассмотрим множество из   элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из   элементов данного множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

2 способ. Выберем сначала   элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на  :

3. Число k-элементных подмножеств в множестве из n элементов. Соотношения между числами сочетаний: C^k_n = C^n-k_n и C^k_n+1 = C^k_n + C^k-1_n (с доказательствами).

1.  .

Действительно, каждому  -элементному подмножеству данного   элементного множества соответствует одно и только одно  -элементное подмножество того же множества.

2.  .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из   элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число  -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно  ; число  -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно  .

4. Метод полной математической индукции. Доказательство соотношения 1+3+5+…+(2n-1)=n^2.

Вычислить сумму первых n нечетных чисел натурального ряда.

Решение. S(1) = 1, S(2) = 1 + 3 = 4, S(3) = 1 + 3 + 5 = 9, S(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, S(5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Замечаем, что сумма первых n нечетных чисел натурального ряда равна n², т.е. S(n) = n².

Докажем это.

1) Для n = 1 формула верна.

2) Предположим, что она верна для какого-либо натурального n = k, т.е. S(k) =k².

Докажем, что тогда она будет верна и для n = k +1, т.е. S(k+1) = (k + 1)²:S(k + 1) = 1 + 3 + 5 +…+(2k – 1) + (2k + 1) = S(k) + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k + 1)².

Следовательно, формула верна для всех натуральных значений n, т.е. S(n) = n².

5. Бином Ньютона. Доказательство. Примеры бинома Ньютона для n= 2,3,4,5,6.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных