Семестр 02 / Шпоры по физике 2 сем / Билеты по физике / Билет 2

1. Внутренняя энергия идеального и Вандервальсского газа

А) идеальный газ:

Числом степеней свободы механической системы называется число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

В физике выделяют три “вида” степеней свободы:

1)поступательная

2)вращательная 3)колебательная

Закон равнораспределения гласит о том, что на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная (1/2)kT.

Твердое тело имеет 6 степеней свободы (3 вращательные и

3 поступательные см. рис. выше), точка имеет 3 степени свободы (поступательные). Рассмотрим молекулу состоящую из N атомов. В этом случае количество степеней свободы равняется 3N (положение каждой из N точек – атомов должно быть задано тремя координатами).

3N

Согласно закону равнораспределения среднее значение энергии одной молекулы < > будет (при той же температуре) тем больше, чем сложнее молекула, чем больше у нее степеней свободы. При определении < > нужно учесть, что колебательная степень свободы должна обладать вдвое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной и вращательной. Это объясняется тем, что поступательное и вращательное движение молекулы связано с наличием только кинетической энергии, в то время как колебательное движение связано с наличием и кинетической, и потенциальной энергии, причем для гармонического осциллятора среднее значение кинетической и потенциальной энергии оказывается одинаковым т.е. в среднем две половинки kT.

Таким образом < >=(i/2)kT, где i=nпост+nвр+2nколеб

Молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой. Поэтому внутреннюю энергию одного моля идеального газа можно найти, умножив постоянную Авогадро на среднюю энергию одной молекулы:

U NA 2i NAkT 2i RT

Б) Ван-Дер-Валльсовский газ:

Найдем внутреннюю энергию Ван-дер-Ваальсовского газа. Она включает в себя, кроме кинетической энергии молекул ЕК потенциальную энергию взаимодействия между молекулами ЕП. Чтобы найти энергию взаимодействия Еmnr учтем, что силы взаимодействия между молекулами являются центральными и, следовательно, консервативными. Работа сил взаимодействия равна убыли взаимной потенциальной энергии молекул: dAВЗ= - dEn. Силы взаимного притяжения между молекулами учтены в уравнении (1.64) с помощью добавки к давлению, равной a/VM2. Соответственно работа этих сил может быть представлена в виде dAВЗ= — (a/VM2)dVM (при dVM> 0 эта работа отрицательна). Подобно этому работа, совершаемая газом против внешних сил,

амплитудам колебаний. Случаи =+ /2 и =- /2 различаются направлением движения по эллипсу.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Пример:

3. Функция распределения вероятностей и ее смысл

Вероятность – отношение вероятных исходов ко всем исходам. Pi lim Ni

N N

Th (сложения вероятностей): Pi или k=Pi+Pk Th (умножения вероятностей): Pi и k=Pi Pk

Если x имеет непрерывный спектр значений (т.е. от 0 до + ), то, при достаточно маломx, построим столбчатую диаграмму (гистограмму), откладывая по оси х полоски шириной x и высотой Px/ x ( Px= Nx/N – вероятность того, что результат находится в интервале от x до x+ x). Площадь полоски, левый край которой имеет координату x,

равна Px, а площадь всей гистограммы равна 1.

При x 0 получаем гладкую кривую. Функция f(x), определяющая эту кривую, называется функцией распределения вероятностей. Тогда вероятность того, что результат измерений окажется в пределах от x до x+dx, равна dPx=f(x)dx (т.е. f(x) – это коэффициент пропорциональности между вероятностью и размером интервала). Площадь под кривой равна 1 (функция нормирована на 1), следовательно f(x)dx dPx 1 .

Зная функцию распределения можно вычислить среднее значение величины:

Аналогично: (x) (x)f(x)dx (например, sinx sinxf(x)dx )