20.3 Методы случайного поиска экстремума целевой функции.

Одной из важных задач в анализе является задача отыскания экстремума (наибольшего или наименьшего значения) целевой функции f(x) n-мерного векторного аргумента x при некоторых ограничениях. Эту задачу можно записать следующим образом: где X – допустимое множество задачи.

Такая задача в зависимости от наличия ограничений или их отсутствия может быть решена следующими методами.

Метод дифференциального исчисления применяют при отсутствии каких-либо ограничений. Экстремум находят путем решения системы n уравнений, полученных приравниванием к нулю частных производных от целевой функции, т.е. Метод множителей Лагранжа применяют при наличии ограничений типа равенств и поэтому находят относительный экстремум.

М етоды вариационного исчисления. Задачей вариационного исчисления является отыскание функций, доставляющих экстремальное (максимальное или минимальное) значение некоторым величинам, которые зависят от этих функций и называются функционалом. Функционал можно рассматривать как функцию особого рода, в которой роль независимой переменной играет другая функция. Однако наибольшее практическое значение имеет случай, когда на функцию, доставляющую экстремум функционалу, наложены некоторые ограничения. Для решения такого рода задач можно использовать как классическое вариационное исчисление, так и новые метода: принципы максимума и динамическое программирование.

Принцип максимума применяют при анализе систем, поведение которых можно описать дифференциальными уравнениями:

где xi – координаты и т.п. объек та;

Uj – управления (температура, напряжение, топливо и т.д.).

Ставится задача – найти управление Uj(t), переводящее систему за время Т из положения xi=xi(0) в положение xi=xi(T) и доставляющее минимум функционалу В отличие от обычных задач вариационного исчисления, где все искомые функции равноправны, в принципе максимума разделяются фазовые координаты xi и управления. Это разделение удобно в тех случаях, когда ограничения накладываются только на управления, а не на фазовые координаты.

Дискретный принцип максимума. При планировании производственных процессов в автоматическом управлении и т.п. возникают задачи оптимального управления дискретного типа, в которых оптимизируемый процесс описывают системой уравнений

где Uj(t) – управляющее воздействие; xi(t) – состояние исследуемой системы в дискретный времени t. Методы случайного поиска.

Простейший случайный поиск заключается в случайном "бросании точки", осуществляемом по равномерному закону, в область допустимых значений параметров. При этом очевидно, вероятность попадания в некоторую область ε, для точек которой справедливо соотношение является конечной и определяется числом проводимых "бросаний". Важнейшее достоинство этого поиска в том, что он не накладывает никаких ограничений на свойства области x допустимых параметров и целевую функцию f(x). Недостатком его является необходимость большого числа испытаний.

Случайный поиск по пробе. Определение значения целевой функции после случайных пробных шагов и сравнение этих значений с предыдущим шагом позволяет значительно сократить число проб и построить простые и эффективные алгоритмы случайного поиска. Применение таких алгоритмов поиска особенно эффективно при большом числе оптимизируемых параметров и ограничений.

В этих методах для перехода от xi(k) к xi(k+1) делается случайный шаг αSiεi, где α – величина шага; Si – шкальный коэффициент; εi – случайная величина, равномерно распределенная в интервале (-1,1).

Если при оптимизации поисковая точка выходит за пределы допустимой области, то шаг считается неудачным, а значения компонентов оптимизирующего вектора полагаются равными граничным. Если на какой-либо итераций делается подряд M неудачных попыток, то шаг поиска уменьшается в L раз.

Процесс оптимизации прекращается, если выполняется условие где αmin – заданная константа, определяющая точность оптимизации