32.3 Теория игр и статистических решений. Правило игры, ход, стратегия. Оптимльная стратегия. Матрица игры. Принцип Минимакса.

Теория игр есть математическая теория конфликтных ситуаций. Задача этой теории – выработка рекомендаций по дальнейшему образу действий участников конфликта. Конфликтными ситуациями называют ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующие стороны, преследующие различные цели, причём результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник.

Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна и её анализ затруднён наличием многих несущественных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации, надо отвлечься от этих второстепенных факторов и построить упрощённую модель ситуации. Такую ситуацию называют игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведётся по вполне определённым правилам игры. Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами действий и его осуществление.

Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называют сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление (например ход в шахматной игре). Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, бросание монеты и т.п.). Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы; её задача – дать указания игрокам при выборе их личных ходов, т.е. рекомендовать им определённые “стратегии”.

Стратегией игрока называют совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Оптимальной стратегией игрока называют такую стратегию, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш).

Матрица игры - теории игр, теории решений — таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (напр., исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии).

Конечная игра, в которой игрок X может применить m стратегий, а игрок Y — n стратегий Строки - результаты ходов игрока X при использовании сових стратегий, столбцы – стратегии Y. Uij в ней обозначает выигрыш игрока X, когда он выбрал i-ю стратегию, а его противник j-ю стратегию.

«Игра с природой» - x — список альтернатив, а y — список условий, “природа” означает совокупность условий, в которых должно осуществляться принятое решение

Принцип минимакса - принцип оптимальности в антагонистических играх, выражающий стремление каждого из игроков к получению наибольшего гарантированного выигрыша. М. п. реализуем в антагонистич. Игре Г=<А,В,Н> если справедливо равенство v=max inf H (a,b)=min sup H (a,b), a Є A b Є B, b Є B, a Є A (*) т. е. если существуют значение игры, равное v, и оптимальные стратегии у обоих игроков. Для матричных игр и нек-рых классов бесконечных антагонпстич. игр М. п. реализуем в смешанных стратегиях. Известно, что равенство (*) равносильно выполнению неравенств H (a,b*)<= H (a*,b*)<=H (a*,b) для всех a Є A, b Є B где a*, b* - стратегии, на к-рых достигаются внешние экстремумы в (*). Таким образом, М. п. математически выражает интуитивно понимаемую идею устойчивости, т. к. ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своих оптимальных стратегий a* (соответственно b*). Вместе с тем М. п. гарантирует игроку I (II) получение выигрыша (проигрыша), не меньшего (не большего), чем значение игры