2. Формы представления чисел

Допустим, на столе лежат N однородных предметов. Необходимо определить их количество и записать его. В качестве однородного предмета возьмем денежную единицу - гривну. Теперь начнем подсчет: одна гривна - 1, еще одна - 1 и т. д. Допустим, в пачке находятся 12 купюр. Тогда получим 111111111111, где каждая гривна обозначается символом 1. Подсчитаем это же количество и запишем в привычной для нас форме, т. е. 12 или же по-другому XII.

Итак, 12=XII=111111111111, т. е. количество банкнот записано в различной форме. Форма записи единицами очень громоздкая, а форма 12 наиболее удобная и привычная.

В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались различные системы счисления (СС).

Все системы счисления делятся на две большие группы: ПОЗИЦИОННЫЕ и НЕПОЗИЦИОННЫЕ. Позиционные - количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра. Непозиционные - количественное значение цифры числа не зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. СС - это способ записи (представления) в виде совокупности конечного числа символов.

В зависимости от количества символов (цифр), используемых для записи чисел, применяются различные СС. При этом количество цифр определяет название СС (например: двоичная, десятичная и т. д.).

Любое число от - до + можно представить в виде:

(1)

где i - целое число разряда (позиции); m - число знаков после запятой; n - число знаков до запятой; q - основание системы счисления.

В цифровой технике наиболее распространенной является двоичная СС. Ясно, что при этом в качестве a_i используют 0, 1, а q=2.

Например, число 35.5 по формуле 1 и по приведенной схеме будет выглядеть следующим образом:

Кодом данного числа в 10^ой СС является 35 и 5 и состоит из 3-х разрядов (1, 0, -1). Это же число в десятичной СС:

Аналогично предыдущему примеру запишем код этого числа в двоичной СС:

35,5₁₀=1.2⁵ +0.2⁴ +0.2³+0.2² +1.2¹ + 1.2⁰ + 1.2^-1=10001, 1₂

Таким образом, код числа 35,5 в двоичной системе счисления является

10001, 1₂

В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Ниже приведена таблица записи чисел в различных системах счисления.

Таблица 1

Веса Числа СС	10я	Двоичная	8-я	16-я	Двоично-десятичная
	10 1 101 100	16 8 4 2 1 24 23 22 21 20	8 1 81 80	16 1 161 160	10 101	8 4 2 1 23 22 21 20
0	0	00000	0	0		0000
1	1	00001	1	1		0001
2	2	00010	0 2	2		0010
3	3	00011	0 3	3		0011
4	4	00100	0 4	4		0100
5	5	00101	0 5	5		0101
6	6	00110	0 6	6		0110
7	7	00111	0 7	7		0111
8	8	01000	1 0	8		1000
9	9	01001	1 1	9		1001
10	10	01010	1 2	A	0001	0000
11	11	01011	1 3	B	0001	0001
12	12	01100	1 4	C	0001	0010
13	13	01101	1 5	D	0001	0011
14	14	01110	1 6	E	0001	0100
15	15	01111	1 7	F	0001	0101
16	16	10000	2 0	1 0	0001	0110
17	17	10001	2 1	1 1	0001	0111

Следует отметить, что кодировать также можно любую информацию, например, звук, цвет, графика и т.д.

Известно, что красный, зеленый и синие цвета позволяют получить неограниченное количество оттенков. Рассмотрим таблицу двоичных кодов восьмицветной палитры

Цвет	Составляющие
	К	З	С
Красный	1	0	0
Зеленый	0	1	0
Синий	0	0	1
Голубой	0	1	1
Пурпурный	1	0	1
Желтый	1	1	0
Белый	1	1	1
Черный	0	0	0