Законы алгебры логики
При рассмотрении законов алгебра логики А, В логические переменные, Еп источник , а Х- результат операции.
Правило 1.
Логическое произведение любого аргумента на 0=0. Это правило часто используется для выполнения процедуры “маскирования” входных переменных.
Правило 2.
Логическое произведение любого аргумента на 1 равно значению аргумента. Доказательства правил 1 и 2 можно получить подстановкой значений аргументов в таблицы истинности для логических функций И, ИЛИ.
Правило 3.
Логическое произведение одних и тех же аргументов равно аргументу. В таблице истинности этому правилу соответствуют значения аргументов А=0, Х=0 и А=1 и Х=1.
Правило 4.
Х=
.A=0
Логическое произведение аргумента с его инверсией=0.
Правила 5, 6, 7 касаются логической суммы и аналогичны правилам для логических произведений.
5)
6)
7)
8)
Правило 9.
Двойная инверсия аргумента дает его истинное значение.
Правило 10.
Правило 11.
Правила 10, 11 аналогичны переместительному закону алгебры и указывают на возможность перемещения аргументов в логических функциях И, ИЛИ.
Правило 12.
Правило 13.
Правила 12 и 13 аналогичны сочетательному закону алгебры и показывают, что аргументы логических функций И, ИЛИ можно группировать произвольно.
Правило 14.
Правило 15.
Правило 15 можно доказать при помощи составления и сравнения таблиц истинности для правой и левой частей каждой формулы, описывающей тот или иной закон.
Левая часть Правая часть
A |
B |
C |
BC |
A+(BC) |
A |
B |
C |
A+ B |
A+ C |
(A+ B) (A+ C) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Из таблиц видно, что результаты одинаковые и доказано тождество.
Правило 16.
Правило 17.
=А+В
Правила 16 и 17 применяют при преобразовании логических выражений.
Для доказательства правила 16 воспользуемся правилами 2 и 6:
для доказательства правила 17 воспользуемся правилом 15:
=(А+
).(А+В)=А+В
Правило 18.
Правило 19.
Правила 18 и 19 известны как правила ДЕ Моргана, или законы инверсии.
Чтобы убедиться в справедливости правил 16-19 воспользуемся методом доказательства при помощи таблиц истинности (см. правило 15).