17. Гомоскедастичність, гетероскедастичність та її наслідки

Гомоскедастичністю називається явище, при якому дисперсія стохастичної складової економетричної моделі є сталою (незмінною) для кожного окремого спостереження або групи спостережень. Слід зазначити, що гомоскедастичність слід розглядати не тільки як явище, а і як властивість стохастичної складової моделі. Суть гомоскедастичності полягає в тому, що варіація кожної випадкової величини _i навколо її математичного сподівання не залежить від значення незалежних змінних x. Таким чином дисперсія випадкової величини _i залишається сталою незалежно від малих чи великих значень факторів.

1. Виявлення гетероскедастичності та її природа

Розглянемо класичну лінійну багатофакторну модель

Означення. Якщо дисперсія залишків стала для кожного спостереження, то це явище називається гомоскедастичністю:    

Якщо це припущення не задовольняється в якомусь окремому випадку, то маємо гетероскедастичність (помилки ui некорельовані, але мають несталу дисперсію). Означення. Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, то це явище називається гетероскедастичністю:

Сутність припущення про гомоскедастичність полягає в тому, що варіація кожної випадкової складової ui навколо її математичного сподівання не залежить від значення факторів х:

Форма гетероскедастичності залежить від знаків і значень коефіцієнтів у залежності

Оскільки ui — не спостережувана випадкова величина, ми не знаємо справжньої форми гетероскедастичності. В разі простої лінійної регресії гетероскедастичність має форму                                                               (k—const, яку потрібно оцінити)  

Наслідки порушення припущення про гомоскедастичність: - Неможливо знайти середньоквадратичне відхилення параметрів - Неможливо побудувати довірчий інтервал для прогнозних значень упр  

Отримані за МНК оцінки параметрів регресії не є ефективними (не мають найменшої дисперсії)

31. Особливості оцінки параметрів моделей розподіленого лагу

Для оцінювання параметрів дистрибутивно-лагових моделей зви-чайно застосовують два можливих підходи: послідовне оцінювання і апріорне оцінювання.

Ідея першого підходу полягає в тому, щоб поступово дослід-жувати вплив запізнених змінних на залежну змінну Другий підхід базується на припущенні, що параметри моделі мають пев-ну закономірність, тобто пов’язані між собою деякими співвідно-шеннями.

Послідовне оцінювання параметрів виконується так: спочатку бу-дують регресію залежної та незалежної змінних в один і той самий момент часу потім до моделі додають ще одну змінну - незалежну змінну в попередній момент часу тобто розглядають залежність по-казника від двох змінних. Далі в регресію вводиться ще одна змінна -у момент часу зсунутий на два попередніх проміжки, і т. д. Кожна з моделей досліджується на адекватність і значущість її параметрів. Процедура закінчується, коли параметри при лагових змінних почи-нають бути статистично незначущими та (або) коефіцієнт хоча б однієї змінної змінює свій знак.

Такий метод хоч і повний, однак має певні недоліки. По-перше, те, що невідомою є максимальна тривалість лага, а це не дає змоги перед-бачити, скільки змінних увійде в модель. По-друге, між послідовними значеннями змінних здебільшого спостерігається висока кореляція, що породжує проблему мультиколінеарності в моделі. Крім того, через зменшення ступенів свободи в таких моделях оцінки стають дещо не-певними, що також знижує їх якість.

Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними усклад-нює побудову моделі. Щоб усунути мультиколінеарність, на коефі-цієнти при лагових змінних накладають додаткові обмеження (апрі-орне оцінювання), а саме вибирають їх так, щоб вплив лага на досліджуваний показник був “односпрямований” (тобто коефіцієнти були б однакового знака) і зменшувався з кожним наступним кро-ком у минуле. Такі припущення реалізують, як правило, у моделях, де параметри змінюються в геометричній прогресії. Крім того, не-скінченна сума членів спадної геометричної прогресії є скінченною величиною, що дає змогу узагальнити модель з кінцевим лагом і зас-тосовувати однакові методи оцінювання параметрів.

Однак і в цьому разі залишається велика кількість оцінюваних па-раметрів.

Уведення в модель лагової залежної змінної у_г-1 (затримка на один період), відоме як перетворення Койка, значно спрощує модель:

Уі = ж(1 - Х) + Ху_г-1 + (Щ - И-1), (7.2)

де ш = =\^а,: (скінченне число), 0 < X < 1.

Така модель містить не лише поточні, а й попередні значення за-лежної змінної, тобто є авторегресійною.

Заміна незалежних лагових змінних х_(-1, х_{-₂,... однією залежною змінною у_(-1 зменшує кількість оцінюваних параметрів і усуває проблему мультиколінеарності, однак призводить до нових труд-нощів. Наявність у моделі лагової залежної змінної потребує пере-вірки передумови про незалежність змінних і залишків при застосу-ванні звичайного МНК. Крім того, залишки моделі ю₍ = щ + Хщ_-1 часто виявляються серійно корельованими, а тому при дослідженні їх на автокореляцію необхідно використати спеціальні тести.

Отримана алгебраїчним способом модель Койка позбавлена тео-ретичного обгрунтування і фактично є послідовною моделлю.

3 певних економічних міркувань можна отримати моделі, що зовні нагадують модель Койка, але з іншою інтерпретацією коефіцієнтів лагових змінних. Такими моделями є модель адаптивних сподівань

у₍ = ос(1 -Х) + Р(1 - Х)х₍ + 'ку_і-1 +щ(1- кщ-1) (7.3)

та модель часткового коригування

у₍ = ау + руг, + (1-ч)у_(-1+щ, 0<у<1. (7.4)

Ці моделі відрізняються від моделі Койка наявністю вільного чле-на, але при цьому реалізують різні ідеї щодо економічної діяльності. У першій моделі відображено думку про те, що люди навчаються з попереднього досвіду, причому нещодавній досвід має більший вплив, аніж попередній; друга базується на тому, що через інертність економічної системи зміна одного економічного показника не одразу впливає на зміну іншого і відповідний рівень залежної змінної дося-гається через певний час.