Композиция трехмерных преобразований

Путем объединения элементарных трехмерных преобразований можно получить другие преобразования. В этом разделе показано, как это сделать. Задача состоит в том,

чтобы преобразовать отрезки P₁P₂ и P₁P₃ (рис. 2.5) из начальной позиции в конечную. Точка Pi переносится в начало координат, P₁P₂ располагается вдоль отрицательной полуоси x, а P₁P₃ помещается в плоскости yz в той ее половине, где ось у положительна. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Как и прежде, разобьем сложную задачу на более простые. В данном случае преобразование можно выполнить за четыре шага:

1. Перенос точки Pi в начало координат.

2. Поворот вокруг оси у до совмещения P₁P₂ с плоскостью уz.

3. Поворот вокруг оси x до совмещения P₁P₂ с отрицательной полуосью Z.

4. 

   Поворот вокруг оси z до совмещения P₁P₃ с плоскостью yz. Шаг 1. Перенос Ρ₁ в начало координат:

Применение Τ к P₁, Р₂ и Р₃ дает

Шаг 2. Поворот вокруг оси у. На рис. 2.5 показаны отрезки P₁P₂ после шага 1 и

проекция P₁P₂ на плоскость xz. Поворот производится на положительный угол θ, для

которого

где Тогда

Как и ожидалось, x-компонента Р₂ равна нулю.

Шаг 3. Поворот вокруг оси х. На рис. 2.6 показан отрезок P₁P₂

Рис. 2.5. Композиция преобразований

после шага 2. Поворот производится на отрицательный угол φ, для которого

где

Запись обозначает длину Результатом поворота на шаге 3 является

т. е. теперь совпадает с отрицательной полуосью z.

^{Шаг 4. Поворот вокруг оси z. На рис. 2.6 показаны и после шага 3, когда}

Р₂'" лежит на отрицательной полуоси z, а Р₃'" - в точке

Поворот производится на

положительный угол , для которого Шаг 4 является последним шагом, после которого получается конечный результат, показанный на рис. 2.6. Результирующая матрица

описывает искомое преобразование, где

Рис. 2.6. Окончание композиции преобразований

Преобразование объектов

Преобразование объектов можно описать так. Пусть любая точка, принадлежащая

определенному объекту, имеет координаты (k₁, k₂,..., k_n ) в n-мерной системе координат. Тогда преобразование объекта можно определить как изменение положения точек объекта. Новое положение точки пространства соответствует новым значениям координат (т₁, т₂,..., т_n).

Соотношение между старыми и новыми координатами для всех точек объекта (т₁, т₂,..., т_n) = F(k₁, k₂,..., k_n ) и будет определять преобразование объекта, где F—функция преобразования.

Классифицировать преобразования объектов можно согласно типу функции преобразования и типу системы координат.

Например, преобразование объектов на плоскости можно определить так:

В трехмерном пространстве: