Министерство образования и науки Российской Федерации «Российский Государственный Социальный Университет»

Реферат

«На тему:

Интегральное исчисление»

По дисциплине: математика

Выполнила:

студентка I курса

специальности 0820062

Захарова Анастасия Юрьевна

Каменск-Шахтинский, 2012г.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Определенный интеграл поможет вычислить:

площади фигур;

работу силы, произведенной при прямолинейном движении;

работу, затраченной на растяжение или сжатие пружины;

путь, пройденный телом, при прямолинейном движении;

силу давления жидкости на вертикально расположенную пластину.

при   .
Математика Вычисления Sфигур. Длина дуги кривой. Vтела на S параллельных сечений. V тела вращения и т.д.	Физика Работа А переменной силы. S – (путь) перемещения. Вычисление массы. Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра. Вычисление координаты центра тяжести. Количество теплоты и т.д.

Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а   х   b, f(х)   0 вычисляется по формуле   см. рис .

  Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу, то её площадь вычисляется по формуле  ,(2) см. рис. 

При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи:

а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис.) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2.

б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис.). Площадь находится по формуле  .

в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ).

г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у =  (х) (рис.)

Решим задачу

х-2у+4=0 и х+у-5=0 и у=0

 

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b

Применим метод дифференциала

Рис 5

1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx (Формула объема тела по площади параллельных сечений)

Решим задачу:

Пример: Найти объем эллипсоида (рис 6)

Рис 6

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 - ). Поэтому, по формуле имеем

V = bc (1 - )dx = abc.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,

S(x)= y .

Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади

параллельных сечений, получаем

Рис 7

V = y dx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0,

y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой

V = S(x) dx, равен V = x dy.

Решим задачу:

Пример: Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V = x dy.

находим:

V = 2ydy = y = 8 .