Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований
Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются в виде
К сожалению, перенос реализуется отдельно (с помощью сложения) от масштабирования и поворота (с помощью умножения). Хотелось бы представить их таким способом, чтобы все эти три элементарных преобразования можно было легко объединять вместе. Ниже в этом разделе показано, как это можно сделать.
Если мы выразим точки в однородных координатах, то все три преобразования
можно реализовать с помощью умножений. Однородные координаты были введены в геометрии и впоследствии использованы в графике. С однородными координатами и преобразованиями над ними работают многие пакеты графических подпрограмм и некоторые дисплейные процессоры. В одних случаях эти координаты используются прикладной программой непосредственно при задании параметров для графического пакета, в других — применяются лишь внутри самого пакета и недоступны для программиста.
В однородных координатах точка Р (х, у) записывается как P(W∙ x, W ∙ y, W) для любого масштабного множителя W≠0. При этом если для точки задано ее представление в
однородных координатах Р(Х, Y, W), то можно найти ее двумерные декартовы координаты
как x=X/W и y=Y/W. В этой главе W всегда будет равно 1, поэтому операция деления не
требуется. Однородные координаты можно представить как вложение промасштабированной с коэффициентом W двумерной плоскости в плоскость z=W (здесь z = 1) в трехмерном пространстве.
Точки теперь описываются трехэлементными вектор-строками, поэтому матрицы
преобразований, на которые умножается вектор точки, чтобы получить другой вектор точки, должны иметь размер 3x3. Уравнения переноса записываются в виде матрицы преобразования однородных координат следующим образом:
где
Что будет, если точку Ρ перенести в точку Р' на расстояние (Dx1, Dy1), а затем в Р" на расстояние (Dx2 Dy2). Интуитивно ожидаемый результат в этом случае представляет собой суммарный перенос на расстояние (Dx1+Dx2, Dy1+Dy2). Чтобы доказать это, запишем данные в виде
Теперь получим:
Матричное произведение Τ(Dx1, Dy1) ∙ T(Dx2, Dy2) есть
Действительно, результирующий перенос есть (Dx1+Dx2, Dy1+ Dy2). Матричное произведение в разных случаях называют объединением, соединением, конкатенацией и композицией матриц T(Dx1, Dy2) и T(Dx2, Dy2). В этой главе мы будем использовать термин композиция.
Уравнения масштабирования в матричной форме записываются в
виде
Определяя
имеем
Так же как последовательные переносы являются аддитивными, можно ожидать, что последовательные масштабирования будут мультипликативными. Если заданы
то получим:
Матричное произведение S(Sx1, Sy1)∙S(Sx2, Sy2) есть
Таким образом, масштабирования в самом деле мультипликативны. И, наконец, уравнения поворота можно представить в виде:
Полагая
Имеем
