Замедление времени

Время в движущейся системе отсчёта течёт медленнее:

С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов.

Сокращение линейных размеров

Линейные размеры тел в движущейся системе отсчёта сокращаются:

, для длины.

, для объёма.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением.

«Утяжеление» при ускорении

Релятивистская масса движущегося объекта больше массы покоя:

Однако, в современной физической литературе по СТО m — масса частицы (инвариантная масса) не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной. В данной формуле речь идёт о так называемой «релятивистской массе», которая возрастает с увеличением скорости. «Утяжеление» следует понимать лишь условно, как будто справедлив закон Ньютона, а не аналогичный ему закон релятивистской динамики. В современной физической литературе понятие «релятивистской массы» не используется, хотя встречается в ранних работах по теории относительности.

3. Распределение Больцмана.

Барометрическая формула выражает зависимость концентрации молекул газа, находящегося в поле сил тяжести. Величина mgx представляет собой потенциальную энергию молекул на высоте х. Можно также сказать, что формула

n= n₀e^(-m₀ ^g/kT)x

дает нам число частиц n в единице объема, энергия которых равна m₀gx, если концентрация частиц с энергией равной 0 равно n₀ (отсчет х снизу).

Нет оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая либо другая сила, тогда для любого силового поля можно сказать,.что число частиц, имеющих заданную потенциальную энергию U, определяется формулой

n= n₀e^-U/kT – формула Больцмана

Она позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового равновесия обладают энергией U:

n/n₀= e^-U/kT

Отсюда видно, что доля n/n₀ частиц с энергией U, т.е., их распределение по энергии определяется (кроме U) температурой. При данной Т доля молекул с той, либо иной энергией зависит от U и быстро уменьшается с ростом энергии. Доля молекул с большой энергией мала. И чем ниже Т, тем быстрее n/n₀ убывает с ростом U, рис. . Чем выше температура, тем равнемернее распределен газ по объему.

Величина n/n₀ в формуле имеет также смысл вероятности n молекул из всего числа n₀ иметь заданную энергию U.

Функция распределения

В уравнение кинетической теории идеальных газов входит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, которая определяется в свою очередь их средней квадратичной скоростью. Смысл средней квадратичной скорости заключается в том, что это та скорость, которой должны были бы обладать все молекулы (если бы их скорости были одинаковы, а направления равновероятны), чтобы давление было таким, каким оно является на опыте. На самом деле скорости молекул не одинаковы и это учитывалось при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории. На это указывают и опытные факты, в частности, эксперименты Штерна и Ламмерта. Полоска мишени в этих опытах оказывалась не резкой, а размытой.

Об этом свидетельствует и закон распределения молекул по высоте, то есть, барометрическая формула. Если бы все молекулы имели одинаковую скорость, то распределение было бы иным. Они все поднимались бы до одинаковой высоты mgh = mv²/2 => h= v²/2g, а затем возвращались бы к Земле с первоначальной v, то есть вели бы себя, как брошенное тело. Все молекулы были бы равномерно распределены по высоте, а, значит, атмосфера имела бы резкую границу, чего нет на самом деле.

Благодаря хаотичным движениям молекул и их взаимным столкновениям, молекулы газа каким-то образом распределены по скорости, так, что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные. Несмотря на хаотичность движений, на случайный характер столкновений и, вызываемых ими изменений скорости молекул, их распределение по скорости, как показывают теория и опыт, оказывается не случайным, не произвольным, а вполне определенным. На его характер не влияют ни столкновения между молекулами, ни даже внешние поля. Оно является однозначным и единственным. И это не только не противоречит представлению о хаотичности молекулярных движений, а именно этим и обусловлено.

При поиске распределения частиц по скорости требуется найти число частиц, скорости которых (или их компоненты v_х, v_y, v_z) лежат в определенном интервале значений скорости (или компонентов скорости). Очевидно, что число ∆n частиц в единице объема, скорости которых лежат в некотором интервале от v до v+∆v, тем больше, чем больше этот интервал, то есть ∆n~∆v или ∆n=k∆v, где k – коэффициент пропорциональности.

Ясно, что ∆n зависит от самой скорости, т. к., в одинаковых интервалах, но для разных значений скорости число частиц будет разное, как не одинаково, например, число людей возраста 99-100 лет и 30-31 года при одинаковом размере интервала – 1 год. Значит коэффициент пропорциональности k зависит от скорости, т.е., k = f(v).

Кроме того, величина n должна быть пропорциональна общему числу частиц в единице объема, значит формула для n имеет вид: n = nf(v) ∆v или ∆n/n = f(v) ∆v. Здесь, ∆n/n – доля частиц в единице объема газа, скорости которых лежат в интервале от v до v+∆v , а f(v) – функция распределения. Задачей статистики является найти её вид. Её смысл ясен из выражения

f(v)= ∆n/n при ∆v=1 м/с

Т.е., это доля частиц, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей v =1 вблизи скорости v.

Переходя к пределу, т.е. к вероятностям, можно записать:

dn/n=f(v)dv

здесь величина dn/n имеет смысл вероятности того, что любая частица, содержащаяся в единице его объема, имеет скорость в интервале dv вблизи скорости v.

Величине же функции распределения f(v) можно приписать смысл вероятности любой частице в единице объема иметь скорость, заключенную в единичном интервале скоростей dv вблизи скорости v. Ее называют, поэтому плотностью вероятности.

f(v)=dn/ndv

Б-19

1. Кинетическая энергия.

П

усть частица массой движется пол действием силы . Элементарная работа этой силы: ; ( ) . Скалярное произведение ; — проекция вектора приращения скорости на направление вектора . Она равна — приращению модуля вектора скорости, тогда и работа . Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой физической величины , которую называют кинетической энергией и которая является мерой энергии движения материальной точки.

, т.о. (*)

При конечном перемещении из т.1 в т.2

; (**)

Т.е. приращении кинетической энергии частицы при перемещении из т.1 в т.2 равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на этом перемещении. Если то — кинетическая энергия растет. Если — уменьшается (силы трения). Уравнения (*, **) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. А в последних, необходимо в работу всех сил учитывать работ сил инерции.

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Р ассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами , …. находящиеся на расстояние , … от оси вращения. Разным будут соответствовать, разные , … кинетическая энергия вращения всего тела сложится из энергий составляющих его частицу

т.к. всех частиц одинакова, то , … тогда

т.е.

Формула справедлива для тела. которое вращается вокруг неподвижной оси. Если тело катится (шар, колесо, и т.д.), то энергия движения складывается из энергии вращения и энергии поступательного движения, т.е. для тела массой , моментом инерции , скоростью поступательного движения и вращения

; ;

формула справедлива для произвольного движения, поскольку его можно разложить на совокупность вращения относительно оси инерции и поступательного движения.

2. Замедление времени.

Под релятивистским замедлением времени обычно подразумевают кинематический эффект специальной теории относительности, заключающийся в том, что в движущемся теле все физические процессы проходят медленнее, чем следовало бы для неподвижного тела по отсчётам времени неподвижной (лабораторной) системе отсчёта.

Релятивистское замедление времени проявляется, например, при наблюдении короткоживущих элементарных частиц, образующихся в верхних слоях атмосферы под действием космических лучей и успевающих благодаря ему достичь поверхности Земли.

В качестве иллюстрации релятивистского замедления времени часто приводится парадокс близнецов.

Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца:

где Δt — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения неподвижного наблюдателя, Δt₀ — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя связанного с движущемся объектом, v — относительная скорость движения объекта, c — скорость света в вакууме. Точность формулы неоднократно проверена на элементарных частицах и атомах, так что относительная ошибка составляет менее 0,1 ppm.

2. Функция распределения. Распределение Максвелла.

Полученная ранее барометрическая формула обязана своим видом тому, что скорости молекул не одинаковы, а распределены определенным образом. Характер этого распределения и определяет вид зависимости плотности молекул от высоты.

n= n₀е^(-mg/kT)x

Пользуясь этой формулой можно найти вид функции распределения молекул по скорости.

Возьмем сосуд с газом в пустом пространстве в поле сил тяжести. Газ находится в состоянии равновесия и его молекулы каким-то образом распределены по скорости. Сила тяжести действует на Z компоненту скорости (по вертикали), поэтому найдем распределение молекул по значению составляющей скорости v_z. Движение вверх вдоль оси Z сопровождается уменьшением Z компоненты скорости. Если на начальной высоте Z₀ скорость равна v_z0, то на высоте Z значение v_z можно найти из закона сохранения энергии:

m(v_z0)²/2= m(v_z0)²/2+mgZ (*)

Молекулы с энергией m(v_z0)²/2≤mgZ не могут подняться выше Z=(v_z0)²/2g, они после подъема до Z падают вниз c ускорением.

Выделим на высоте Z слой dZ с площадью S=1м². Газ в слое состоит из движущихся вверх и вниз молекул (нас интересуют молекулы вдоль оси Z). Разница между молекулами снизу и сверху состоит в том, что молекулы, приходящие снизу, имеют Z-компоненту скорости с v≥√2gZ, в то время, как молекулы, приходящие сверху, могут иметь Z-компоненту с любыми скоростями от 0 до ∞.

В условиях равновесия число молекул в слое должно быть постоянно, число молекул, проходящих сверху вниз, должно быть равно числу молекул, проходящих снизу вверх. На высоте Z₀ число молекул в единице объема с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от v_z0 до v_z0+dv_z0 определяется выражением: dn_z0= n_z0f(v_z0)dv_z0

В

∞

√2gz

∞

√2gz

единицу времени слой на высоте Z пересекает n_z0f(v_z0)dv_z0 молекул, а общее число молекул, пересекающих слой снизу вверх (обозначим его через N_↑) равно

N _↑=∫n_z0v_z0f(v_z0)dv_z0= n_z0∫v_z0f(v_z0)dv_z0

Т

∞

0

∞

0

аким же образом число молекул, пересекающих слой сверху N↓=∫n_zv_zf(v_z)dv_z=n_z∫ v_zf(v_z)dv_z

П

∞

√2gz

∞

0

риравняв N_↑ и N↓, разделив на n_z0 и учтя барометрическую формулу n_z/n_z0=е^(-mg/kT)z

П олучим: ∫f(v_z0)v_z0dv_z0= е^(-mg/kT)z ∫ f(v_z)v_zdv_z

И

∞

0

∞

0

з закона сохранения энергии (*) при дифференцировании получим: v_z0dv_z0= v_zdv_{z ,} тогда

∫f(v_z0)v_zdv_z=e^-∫f(v_z)v_zdv_z

заменили предел интегрирования т. к. v_Z изм. от 0 до 

то есть f(v_z)=f(v_z0)е^(-mg/kT)z (**)

Сравнивая это с законом сохранения энергии (*) можно убедится, что функции f(v) должны иметь вид:

f(v_z)=Ае и f(v_z0)=Ae

Значит f(v_z)=Ае

Число молекул в единице объема, с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от v_Z до v_Z+ dv_Z выражается формулой

dn=nAe dv_Z; a dn/n=Ae dv_z –

в

∞

-∞

∞

-∞

ероятность того, что Z-комп. скорости любой молекулы газа равна Z_Z с точностью до dv_Z.

Постоянная А находится из усл. нормировки ∫ dn/n=A∫ e^- dv_z=1

В

∞

-∞

ероятность того, что молекула газа обладает скоростью с любым значением Z компоненты: А=(∫ е^- dv_z)^-1

В

∞

-∞

2

водится переменная х² = m(v_z)²/2kT => v_Z = √2kT/m x => dv_z = √ dx

Интеграл сводится к ∫ e^-х dx = √ π и тогда A = √m/2πkT

И формула распределения принимает вид: f(v_z) = dn/ndv_Z = (m/2πkT)^1/2×e

f(v_Z)→0 при v_Z→∞

Видно,что доля молекул с Z-компонентой скорости равной 0 не равна 0, она равна А и с повышением Т уменьшается.

Мы получили распределение молекул по Z- составляющей скорости в поле сил тяжести, но это не означает, что распределение связано с действием силы тяжести. И что mg создает это распределение. Сама барометрическая формула является следствием распределения молекул по скорости. Сила тяжести лишь «проявила» существование в газе распределения, поэтому в f(v) сила тяжести не входит (нет g).

Очевидно, что совершенно такие же распределения должны быть и по другим компонентам скорости:

dn/ndv_x = Ae

dn/ndv_y = Ae

Теперь нужно найти вероятность того, что скорости молекул удовлетворяют трем условиям:

v_x лежит в пределах от v_x до v_x+dv_x , v_y лежит в пределах от v_y до v_y+dv_y , а v_z лежит в пределах от v_z до v_z+dv_z. Значения составляющих скоростей молекул по каждой из осей координат не зависят от значений по другим осям. Поэтому, вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трем условиям является «вероятностью сложного события», т.е. равна произведению вероятностей.

Если обозначить число молекул в единице объема газа dn_xyz с составляющими по осям dn_x, dn_y, dn_z ,то

dn_xyz/n = A³e dv_xdv_ydv_z v² = Σ(v_i)²

Эта формула показывает, сколько молекул из числа находящихся в единице объема обладают скоростями, составляющие которых по осям координат лежат в интервале между v_x и v_x+dv_x, v_y и v_y+dv_y, v_z и v_z+dv_z , т.е. обладают скоростью, лежащей в интервале заданном и по величине и по направлению. В распределении необходимо учесть все любые направления движения.

Если собрать все молекулы единицы объема газа со скоростями в интервале от v до v+dv по всем любым направлениям и выпустить их, то они, разлетаясь по всем направлениям, через 1 с окажутся равномерно распределенными в шаровом слое радиусом v и толщиной dv. Число молекул в единице объема этого слоя (объем скоростей) такое же, как и в параллелепипеде объемом dv_xdv_ydv_z. Число же молекул во всем слое – это и есть число молекул в единице объема газа, независимо от направления, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv:

dn = n(m/2πkT)^3/2edΩ; dΩ = 4πv²dv, отсюда:

dn/n =( 4/√π )(m/2kT) ^3/2 v² dv

Это и есть закон Максвелла распределения молекул по скоростям.

dn/n – вероятность того, что у произвольно выбранной молекулы газа скорость окажется лежащей в интервале от v до v+dv, Другими словами, это доля всех молекул ед. объема, скорости кот. лежат в интервале от v до v+ dv. Величина

f(v) = dn/ndv = (4/√π )(m/2kT) ^3/2 v² edv –функция распределения молекул по скоростям.

Она определяет долю молекул в единице объема, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей вблизи v, включающем данную скорость.

f(v) обращается в 0 при v = 0 и v = ∞, т.е., нет неподвижных молекул и нет молекул с бесконечно большой скоростью. Имеется максимум при v_н, т.е. наибольшая часть молекул движется со скоростью v ≈ v_н, т.е. вероятность того, что молекула имеет скорость v_н – наибольшая, поэтому v_н называют наиболее вероятной скоростью.

Пользуясь кривой распределения молекул по скоростям можно графически найти долю молекул dn/n в единице объема газа, скорости которых лежат в заданном интервале скоростей dv. Графически - это площадь с основанием dv и высотой f(v). Вся площадь под кривой f(v) соответствует общему числу молекул в единице объема.

Вид кривой зависит от природы газа и от Т. С повышением Т максимум смещается в сторону больших скоростей, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. n = const.

При выводе распред. Максвелла по скоростям совершенно не принимали во внимание столкновения молекул между собой, хотя они изменяют скорость и влияют на распределение. В действительности именно благодаря столкновениям и устанавливается максвелловское распределение по скоростям. При каждом столкновении скорость одной молекулы увеличивается, другой уменьшается. Максвелл предположил, что равновесному состоянию отвечает такое, при котором число молекул, скорости которых увеличиваются при столкновении равно числу молекул, скорости которых уменьшаются при столкновениях. Такому состоянию и соответствует распределение Максвелла.

Позже Больцман показал, что если газ находится в состоянии с немаксвелловским распределением, то благодаря столкновениям он сам собой переходит в состояние с максвелловским распределением.

Распределение Максвелла (иногда говорят Максвелла -Больцмана) – это равновесное распределение. Теперь можно дать определение хаотичному движению: движение молекул полностью хаотично, если скорости распределены по закону Максвелла.