Билет 1

Способы изображения пространственных форм на плоскости изучаются в предмете начертательная геометрия.

В основу построения объекта на плоскости положен метод проекций. Проецирование – это построение объекта на плоскости при помощи проецирующих лучей, исходящих из точки. Плоскость, на которую падают лучи – проецирующая плоскость.

Виды проецирования

1. Центральное проецирование – проецирующие лучи выходят из одной точки (центра). Размеры предмета на плоскости проекций искажаются (рис.1).

2. Параллельное проецирование – проецирующие лечи параллельны и составляют с плоскостью угол 90% (прямоугольное проецирование рис.2) и угол отличный от 90 % (косоугольное проецирование рис.3).

 

 

Аппарат проецирования включает в себя: Пi — плоскость проекций, S — центр проецирования, А — объект проецирования (точка), SA — проецирующую прямую, Ai — проекцию точки А.

 

Образование чертежа точки в системе двух и трех плоскостей проекций Метод Монжа

Данный метод позволяет определить место каждой точки изображения относительно других точек.

Точку (предмет) помещают в систему двух взаимоперпендикулярных плоскостей, которые используются в качестве плоскостей проекций.

П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; х – ось проекций: х = П1 ∩ П2.

Плоскости проекций П1, П2 делят пространство на четыре части, называемые четвертями. Точка А находится в I четверти пространства. Проведя перпендикуляры к П1 (A Î s’ ┴ П1 , A1 = s’ ∩ П1) и П2 (A Î s” ┴ П2 , A2 = s” ∩ П2) , получаем проекции точки А (рис.4):

А1 – горизонтальная проекция точки А, А2 – фронтальная проекция точки А.

Если даны проекции А1 и А2 некоторой точки А, то проведя перпендикуляры: через т.А1 к плоскости П1 (s’ ┴ П1), а через т. А2 к П2 (s” ┴ П2) , получим в пересечении этих прямых определенную точку А (s’ ∩ s” = A) (рис.5).

2 билет

Комплексный чертеж прямой линии. Учитывая то, что прямую линию в пространстве можно определить положением двух ее точек, для построения ее на чертеже достаточно выполнить комплексный чертеж этих двух точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями. При этом получаем соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой.

рис. 69

На рис. 69, а показаны прямая l и принадлежащие ей точки А и В. Для построения фронтальной проекции прямой l₂ достаточно построить фронтальные проекции точек А₂ и В₂ и соединить их прямой. Аналогично строится горизонтальная проекция, проходящая через горизонтальные проекции точек А₁ и В₁.После совмещения плоскости П₁ с плоскостью П₂ получим двухпроекционный комплексный чертеж прямой l (рис. 69,б). Профильную проекцию прямой можно построить с помощью профильных проекций точек А и В. Кроме того, профильную проекцию прямой можно построить, используя разность расстояний двух ее точек до фронтальной плоскости проекций, т. е. разность глубин точек (рис. 69, в). В этом случае отпадает необходимость наносить оси проекций на чертеж. Этот способ, как более точный, и используется в практике выполнения технических чертежей.

3 билет ( тут 4 и 3 даже)))

Комплексный чертеж точки

Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д

Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.

Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П₁. Проекции элементов

Рис. 60

Рис. 61

пространства на ней будем обозначать с индексом 1 : А₁, а₁, S₁ ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П₂. Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А₂, <a₂, S₂ и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций.

Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:

АА₁_|_ П₁;AА₁ ^П₁=A₁;

АА₂_|_ П₂;AА₂ ^П₂=A₂;

Проецирующие лучи АА₁ и АА₂ взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА₁АА₂,перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П₁ с фронтальной плоскостью П₂ вращением вокруг оси П₂/П₁ (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П₂/П₁. Прямая А₁А₂,соединяющая горизонтальную А₁ и фронтальную А₂ проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА₁ =h) и глубиной f(AA₂ =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А₂ чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f. Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

5 Билет

Натуральные величины отрезков прямых частного положения определяются достаточно просто. Натуральная величина отрезка, параллельного какой-либо из плоскостей проекций, будет равна величине одноименной проекции этого отрезка. Поэтому натуральная величина фронтали определяется ее фронталъной проекцией, а горизонтали - её горизонтальной проекцией (рис. 32).

Чтобы уяснить идею определения натуральной величины отрезка прямой общего положения, рассмотрим следующий рисунок (рис. 33).

Отрезок АВ прямой общего положения здесь проецируется на горизонтальную плоскость проекций (П₁). ∆АBD на рисунке - прямоугольный (угол при вершине D -прямой). Один из его катетов - горизонтальная проекция A₁B₁ отрезка АВ ( ВD =A₁B₁), а второй - представляет собой разность коор­динат Z точек А и В отрезка АВ. Гипотенуза АВ в этом треугольнике и есть натуральная величина отрезка прямой общего положения АВ.

На комплексном чертеже отрезка любой прямой общего положения всегда можно указать отрезки, отражающие длины соответствующих катетов (рис.34).

Если бы проецирование вели на фронтальную плоскость проекций  (П₂), катетами соответствующего прямоугольного треугольника были бы:

-фронтальная проекция А₂В₂ отрезка АВ (ВО = А₂В₂);

-разность координат V точек А и В отрезка АВ.

Следовательно, сущность метода прямоугольного треугольника заключается в том, что:

натуральная величина прямой общего положения есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является какая - либо проекция отрезка, а другим катетом служит разностьрасстояний концов другой проекции отрезка до оси чертежа, разделяющего эти отрезки.

Таким же образом можно находить натуральные величины плоских фи­гур, находя натуральную величину каждой из сторон этой фигуры.

6 Билет

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. 

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

• Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

• Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

• В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

 На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость a (альфа) || b (в плоскости B (бета) указана прямая a1 || b). 

	Свойства параллельных прямых

тут

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости).	Параллельные прямые (лежат в одной плоскости).	Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости).

Доказательство признака скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.  Доказательство  Пусть a принадлежит α, b пересекается α = A, A не принадлежит a (чертеж 2.1.2). Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, то есть они пересекаются. Тогда существует плоскость β, которой принадлежат прямые a и b. В этой плоскости β лежат прямая a и точка A. Поскольку прямая a и точка A вне ее определяют единственную плоскость, то β = α. Но b водит β и b не принадлежит α, следовательно, равенство β = α невозможно.