2. Примеры тензорных базисов
Приведем примеры некоторых базисов. Возьмем следующий набор тензорных ортов:
,
,
,
,
,
. (5)
Легко
проверить, что тензоры
,
,…,
имеют единичную длину и взаимноортогональны.
Запишем
разложение тензоров напряжений
,
в базисе (5). Обозначим координаты тензоров
,
в базисе
,
,
…..,
как
,
,
…,
соответственно. Имея в виду, что
,
,
,
,
получаем отсюда
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. (6)
Если в виде векторов изобразить тензоры (5) как на рис. 1, то аналогично в виде векторов изобразятся тензоры , . При этом годографом вектора является траектория нагружения данной точки сплошной среды, годографом вектора траектория деформирования.
Рассмотрим еще один пример тензорного базиса. Возьмем в качестве тензоров , , ….., следующие:
,
,
,
,
, . (7)
Легко видеть, что тензоры , , .., из (7) попарно ортогональны и имеют единичную длину.
З
апишем
координаты тензоров
,
в базисе (7). Имеем
,
,
,
, , ,
,
,
, , .
Видно, что базис (7) по значимости такой же как и базис (6), то есть преимуществ у того и другого базисов пока не видно. Очевидно, что указанные базисы возможно поворачивать, получать другие. Количество базисов неограниченно.
3. Закон гука для первоначально изотропных сред как линейное симметрическое преобразование тензора напряжений в тензор деформаций и наоборот
В
прямоугольной декартовой системе
координат
рассмотрим закон Гука, который имеет
вид:
(9)
где
,
,
,
,
,
,
,
,
смещения точки с координатами
,
,
;
,
модуль Юнга,
коэффициент Пуассона.
Перепишем (9) в терминах координат тензоров в базисе , ,…, . Для определенности в качестве базиса возьмем определенный формулами (5). С учетом (6) имеем
. (10)
Видно,
что закон Гука (9), записанный в виде
(10), определяет собой линейное симметрическое
преобразование одного вектора:
в другой:
.
Перепишем (10) в виде
,
где
матрица
определяется
(10). Попытаемся в рассматриваемом
евклидовом тензорном пространстве с
базисом
,
,...,
найти другой базис
,
,…,
,
в котором координаты тензоров
,
были бы связаны друг с другом
пропорциональным образом. Для этого,
как следует из алгебры, следует найти
сначала корни характеристического
уравнения
. (11)
Решая (11), замечаем, что
. (12)
Для
определения
имеем уравнение
. (13)
Раскрывая (13), получаем
. (14)
Представляя (14) в виде
,
замечаем, что оно сворачивается в произведение
.
Отсюда следуют выражения корней характеристического уравнения (13) в виде:
(15)
где
с точностью
до множителя совпадает с
модулем
объемного сжатия.
Определим теперь
собственные векторы, соответствующие
корням (15). Рассмотрим сначала корень
.
Отыскивая для него собственный вектор
(решаем уравнение
,
где
),
получаем собственный вектор
.
В традиционных представлениях алгебры
,
где
,
,
орты. В нашем представлении получаем
тензор
или
.
Рассматривая два
других корня
и
,
получаем соответственно
,
.
Сравнивая полученные
выражения с (7), замечаем что (7), по
существу, – это собственный тензорный
базис для традиционного двухконстантного
закона Гука. Тензор
в (7) с точностью до числового множителя
совпадает с шаровым тензором, имеющим
важное значение в механике жидкостей.
Векторное пространство, натянутое на
орты
,
,
,
,
,
в механике сплошных сред называется
девиаторным. Определим длину девиатора.
Исходя из определения координат
,
,
,
,
,
,
,
,
,
согласно (8), имеем
,
,
=
,(16)
.(17)
В силу
определения собственных чисел
(
)
и собственных тензоров следует, что
девиатор
пропорционален или параллелен девиатору
.
Это условие возможно записать как
. (18)
Кроме того
. (19)
Другое
свойство закона Гука отражается в том,
что координата
пропорциональна координате
:
, (20)
где
.
Сделаем следующие замечания:
1. Теория пластичности как наука развивалась независимо от теории упругости. То есть она не заимствовала из последней то, что показано выше. Между тем основные гипотезы теории пластичности (деформационной теории пластичности) отражаются в уравнениях упругости (18)(20). Для деформационной теории пластичности остаются справедливыми уравнения (18), (20). Кроме этого вместо (19) предполагается справедливой гипотеза
,
где
функция, не зависящая от направления
девиаторов
,
в девиаторном пространстве, определенном
основными соотношениями закона Гука
для первоначально изотропной среды.
2. Из определения собственных чисел и собственных векторов (тензоров) следует, что они не зависят ни от значений напряжений, ни от значений деформаций, то есть определяются только свойствами матрицы в (10). Кроме того, современные теории пластичности устанавливают следующие свойства среды: собственные тензоры, собственные пространства, являющиеся собственными в упругости, остаются собственными и в неупругости. Это свойство можно объяснить устойчивостью структуры среды, которая до каких-то степеней нагружения остается величиной инвариантной.