2. Формулировка соотношений пластического и запредельного деформирования

Гипотеза о жесткости блоков в рассматриваемой блочной феноменологической механической модели первоначально изотропной среды предполагает справедливость следующих соотношений, аналогичных (6):

, (9)

где – секущий модуль сдвига на диаграмме деформирования материала , нормаль в (9) определяется (4) (первое из уравнений (9) следует рассматривать в виде как соотношение, характеризующее изменение предельной силы трения с ростом сдвига  ). Вместе с тем без всякой связи (9) с блочной моделью среды эти соотношения неоднократно экспериментально проверялись. Их достоверность для простых (или пропорциональных) путей нагружения не вызывает сомнений [10, 14] – они составляют основу широко известной деформационной теории пластичности Генки–Надаи–Ильюшина. Тем самым как бы оказалась экспериментально доказанной гипотеза о жесткости и недеформируемости блоков в рассмотренной модели среды. Остаются вопросы применения (9) в случае запредельного деформирования первоначально изотропных сред когда сопротивление среды деформированию, определяемое , падает с ростом сдвига . Основные вопросы здесь – задание краевых условий, доказательство теорем существования и единственности решения краевых задач. Дело в том, что на ниспадающей ветви диаграммы деформирования «касательное напряжение – сдвиг» не выполняется постулат Друккера, необходимый для обеспечения единственности решения краевых задач в классическом понимании – первая, вторая, третья задачи [13].

Для решения этой задачи предполагается ограничиться рассмотрением случая плоской деформации – записать для этого случая основные уравнения запредельного деформирования, определить тип получаемой системы дифференциальных уравнений, исходя из которого установить постановки задач разрушения при условии нарушения прочности Мизеса, Кулона–Мора, Шлейхера–Мора. При этом предполагается рассмотреть материал с линейным разупрочнением, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость касательного напряжения от сдвига с линейным упрочнением и разупрочнением

3. Феноменологическая механическая блочная модель первоначально ортотропной среды

Пусть теперь xOyz – прямоугольная декартова система координат, оси которой связанны с осями ортотропии исходного материала. В ней обобщенный закон Гука имеет вид

(10)

где (i,j = 1, 2, 3) – податливости материала, .

Исходя из сделанных замечаний, результирующий тензор деформации (k, l = x, y, z) возможно представить в виде суммы трех слагаемых:

(11)

или, другими словами,

(12)

Будем предполагать, что каждый из тензоров-слагаемых соответствует некоторому плоскому деформированному состоянию

(13)

Здесь – неизвестные пока параметры. Попытаемся определить их через условия (13), (12), (10). Из (14) находим

(14)

Складывая соответствующие выражения в (14), на основании (12) получим систему, аналогичную (10). Из сравнения коэффициентов при имеем следующую систему для нахождения :

(15)

Решая ее, находим

(16)

Представленное разложение (10) в виде (14), (16) единственно. Кроме того, в силу замеча­ний все эти плоскодеформированные состояния можно считать независимыми.

Сделаем еще ряд замечаний:

1. Отметим, что (13) ­­– не стесненные, а свободные плоскодеформированные состояния. Условия , , …, выполняются здесь не за счет силовых факторов, а потому, что податливости в соответствующих направлениях равны нулю. Так, например, соотношение получается из уравнения вследствие того, что ; значения могут быть произвольными. Аналогичная ситуация имеет место и в [1, 3, 14], что послужило основой принять в [10] для каждой из плоских деформаций вида (13) механическую модель материала, состоящую из призм с недеформируемыми образующими. Что касается стесненных плоскодеформированных состояний, то они для полных компонент тензора деформаций получаются обычным способом из (10).

2. Для того, чтобы (13) имело реальный физический смысл, необходимы неотрицательные податливости , Это требование накладывает определенные ограничения на значения податливостей , которые следуют из (16).

3. В работе [10] сдвиги, аналогичные ,…, , ,…, называются реальными.

4. Величины , соответствуют собственным числам тензора упругих податливостей, введенным в [8, 11], а плоскодеформированные состояния в форме (13), (16) — собственным состояниям упругости. Отличие заключается в том, что получению (13), (16) предшествовало применение гипотез (12), (13), которые в определенной степени являются ограничителями. По этой причине собственные числа [8, 11], вообще говоря, не совпадают с , …,  .

5. Соотношения обобщенного закона Гука в случае анизотропии более общего характера, чем ортотропия, не приводятся к виду (13). В этом состоит ограниченность рассматриваемой схемы деформирования в форме (13), (14).

Разложение (10) в виде (12), (13), (16) в случае принятия гипотезы о том, что пластичность есть продолжение упругости, т. е. имеет место непрерывность упругопластического процесса, дает возможность построения определяющих соотношений в пластичности. В самом деле, рассмотрим любое из плоскодеформированных состояний (13), например, первое. Если , то имеем подобие изотропного тела. Так как здесь то в качестве условия пластичности в случае несжимаемого материала возможно использовать условие типа Треска:

, ( ),

а в случае учета пластической разрыхляемости ­– типа Кулона–Мора:

,

где — угол внутреннего трения. Соотношения теорий деформационной пластичности и пластического течения имеют стандартный вид и здесь не выписываются.

Если , то естественно допустить, что для несжимаемого материала условиями пластичности будут [11]:

, .

Приведем для примера соотношения деформационной теории пластичности:

где определяется (16), а — некоторые паспортные функции материала, определяемые экспериментально. В случае учета дилатансии опять используется условие типа Кулона–Мора:

, ( ).

После того, как будут построены соотношения пластичности для каждой из плоских деформаций, применяется их гипотеза сложения (12). Складывая соответствующие деформации, получаем искомые зависимости между напряжениями и деформациями или их приращениями. Возможно непосредственно использовать (15), так как соотношения между приращениями пластических деформаций и напряжений имеют такой же линейный характер, как и (10). Рассмотрим случай, когда пластические деформации происходят только в одном направлении, связанным с превышением касательным напряжением некоторого предела упругости материала .Пусть в этом состоянии . Полагая в (4), (6) , и понимая под некоторую положительную функцию, зависящую от значения , из (15) находим . Так как все другие податливости нулевые, то на основании (10) имеем

(17)

Если , то . Когда пластичность развивается за счет касательных на­пряжений одного вида, то по аналогии с [1, 3, 14] такое состояние назовем неполной пластичностью, а если пластические деформации происходят в двух направлениях ­– в тех, где, напри­мер , ( ­–пределы упругости), то это — состояние полной пластичности. Выпишем, используя (15), (10), определяющие соотношения для данного случая. Пусть , . Полагая в (15) , и рассматривая , как положительное функции , соответственно, по­лучаем из (15):

Подставляя эти значения в (10), находим

(18)

Для определения функций достаточно провести хотя бы один эксперимент с изломом траектории нагружения на пределе упругости материала. Полученные соотношения удов­летворяют, по крайней мере, двум ограничениям, которые накладываются на вид определяю­щих соотношений в теории пластичности: условию положительности энергии, затраченной на изменение пластической деформации, и непрерывному переходу по направлению догрузки из упругого состояния материала в упругопластическое. Переход от определяющих соотношений, записанных в осях ортотропии материала, к записанным в произвольной системе координат, стандартен [5] и здесь не приводится.

Дальнейший анализ повторяет известную схему – приводятся определяющие соотношения варианта теории пластичности и сопоставления теоретических расчетов с эксперименталь­ными данными, решаются прикладные задачи. Отметим, что в частном случае ортотропного материала – первоначально изотропной среды, указанные сопоставления приведены в [3, 4], где получено удовлетворительное согласие. Нет сомнений, что в случае первоначально ортотропного материала можно добиться подобного результата из-за большого количества параметров, функций, входящих в определяющие соотношения.

Несмотря на внешнюю непротиворечивость и прозрачный характер, представлен­ная схема построения соотношений пластичности имеет внутреннее противоречие. Ни одна теория не может обойтись без привлечения такого понятия, как характеристика материала. На­пример, упругий модуль сдвига. Если материал первоначально изотропный, то по любому направлению в нем этот модуль должен сохранять одно и то же значение. На самом деле, рас­смотренная выше схема разложения объемного напряженно-деформированного состояния (НДС) на три плоские деформации, как раз допускает такое разночтение. Покажем это. Рас­смотрим как частный случай (10) первоначально изотропное тело – тот случай, для которого построены соотношения пластичности в [3, 4], совпадающие с (17), (18) с точностью до обозна­чений. Для него

где E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, – модуль упругого сдвига. Применяя (16), для , , получим значения:

.

К ним добавим фигурирующие значения в (13):

.

Так как для первоначально изотропного тела выбор системы координат xOyz не влияет на вид соотношений (10), то на основании (13) это означает лишь одно – модуль упругого сдвига не является характеристикой материала. При одном выборе системы координат модулем сдвига является число , при другом – . Но, так как , то в этом и заключается противоречие. Для его устранения возможно допустить, что система координат xOyz не являет­ся произвольной, а совпадает с главными осями тензора напряжений. Тогда , и (10) состоит только из первых трех соотношений, «нулевые» уравнения исчезают также в (13). Далее, указанным выше способом, строятся соотношения пластичности. Однако при любой сложной упругой разгрузке с вновь проявляются эти соотношения и про­тиворечие, связанное с определением упругого модуля сдвига как характеристики материала. Возможна еще одна позиция – отказаться от разложения (13) в упругости, считать справедли­выми только полученные соотношения пластичности. Тогда отмеченное противоречие как буд­то исчезает, но появляется другое. Выше говорилось, что (13) – это собственные состояния уп­ругости, определяются собственными числами и тензорами [8, 11]. Для первого плоскодеформированного состояния в (13) собственными тензорами будут следующие:

,

.

В евклидовом тензорном пространстве они образуют ортнормированный базис. Упругость развивается в направлениях этих тензоров с модулями податливости соответственно ; пластичность также развивается в этих направлениях. Факт совпадения собственных тензоров пластичности с собственными тензорами упругости имеет место для классических теорий. В деформационной теории пластичности Генки –Надаи – Ильюшина с направлениями собственных тензоров упругости совпадают собственные направления полных пластических деформаций; в теории пластического течения Рейсса – Ланинга с собственными направлениями упругости совпадают собственные направления приращений пластических деформаций. Этот же принцип использовался и для построения соотношений (17), (18). Данное положение выража­ет собой гипотезу о непрерывности упругопластического процесса: упругая деформация в ка­ком-то направлении не может быть неограниченной, при некотором условии она переходит в упругопластическую. В то же время пластической деформации в каком-то направлении должна предшествовать предельная упругая. Если отказаться от представления упругости в форме (13), это значит допустить, что упругость в данном пространстве будет развиваться в направлениях, отличных от тех, где проявляется пластичность. По существу это означает отказ от гипотезы о непрерывности упругопластического процесса, что находится в противоречии с физическим смыслом. Таким образом, разложение закона Гука на три плоскодеформированных состояния приводит к неразрешимым противоречиям, что ставит под сомнение справедливость получен­ных ранее на этой основе соотношений пластичности.