2.2.5. Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции

Геометрическую интерпретацию коэффициента линейной парной корреляции как измерителя силы связи между случайными величинами Y и X можно уяснить из рисунку 2.1.

где:

а) – связь между Y и X в среднем отсутствует (коэффициент b₁ в (2.6) равен нулю);

б) – возрастающая (в среднем) статистическая зависимость Y от X (b₁>0);

в) – возрастающая детерминированная (функциональная) связь Y и X;

г) – падающая детерминированная (функциональная) зависимость;

д) – падающая статистическая зависимость.

2.3. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции

Для проверки этой гипотезы используется критерий Стьюдента для статистики:

(2.9)

Критическое (табличное значение критерия Стьюдента определяется при выбранном уровне значимости a и числе степеней свободы .

Уровень значимости – это вероятность, с которой мы не гарантируем правильности статистических оценок. Соответственно, доверительная вероятность

(2.10)

Это вероятность, с которой мы гарантируем правильность этих оценок.

Величина a (либо p) задается «Заказчиком» расчетов, или самим аналитиком, строящим модель, исходя из экономического смысла постановки задачи.

2.4. Множественный корреляционный анализ

Как правило, экономический процесс описывается числом показателей, более двух, т.е. вектором случайных величин:

X=(X₁, X₂…, X_j,…, X_n)

где j - номер показателя (фактора)

2.4.1. Корреляционная матрица

Пусть совокупность {Xj} имеет совместный нормальный закон распределения. Тогда, как и ранее, взаимосвязь между двумя показателями Xi и Xj можно описать коэффициентом парной линейной корреляции rij. Множество всех возможных сочетаний{rij }, i,j= образует квадратную корреляционную матрицу:

(2.11)

Отметим важные свойства корреляционной матрицы

1). Все диагональные элементы этой матрицы равны единице:

daig K = rji = 1, i=j.

2). Корреляционная матрица – симметричная, т.е. ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

rij = rji,

так как произведение в формуле (2.4) для rij не зависит от порядка следования сомножителей.

2.4.2. Выборочный линейный коэффициент множественной корреляции

Линейный коэффициент множественной корреляции (или совокупный коэффициент корреляции) определяет тесноту связи одного показателя с совокупностью остальных (n-1) показателей при их одновременном действии:.

(2.12)

Kjj – алгебраическое дополнение элемента rjj матрицы К.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до +1, т.е. всегда неотрицателен. Заметим, что совокупный коэффициент корреляции может быть определен без построения регрессионной модели с использование лишь парных линейных коэффициентов корреляции.

2.4.3. Частный коэффициент корреляции

Частный коэффициент корреляции служит количественной мерой связи случайных величин Xi и Xj при условии исключения влияния других случайных (m-2) величин, т.е. при их фиксации.

Выборочная оценка коэффициента частной корреляции определяется по формуле:

(2.13)

где Kij, Kjj – алгебраическое дополнение соответствующих элементов матрицы К.

Частный коэффициент корреляции так же, как и парный коэффициент линейной парной корреляции, изменяется от -1 до + 1, т.е. может быть отрицательным.

Гипотеза о значимости частного коэффициента корреляции проверяется так же, как и для парного коэффициента корреляции:

H₀ : t_r < t_таб(a; N-2)?