1.3. Модель типа черного ящика

Эконометрическая модель, описывающая связи «вход-выход» объекта (процесса), для построения которой не требуется знания внутренней структуры объекта и сути процессов в нем, называется моделью черного ящик [8].

Здесь введены обозначения:

Y – зависимая (результативная, объясняемая, эндогенная) переменная, моделируемый показатель, выходная величина;

= (Х₁, …, Х₂) – вектор независимых (объясняющих, экзогенных переменных); иногда вектор называют вектором входных факторов, регрессоров.

Термин «эндогенная переменная» означает внутренняя по отношению к моделируемой системе (объекту), т.е. это реакция (состояние) объекта в ответ на внешние (экзогенные) воздействия, задаваемые вектором независимых переменных . Модели типа «черного ящика» очень широко применяются в эконометрике.

1.4. Основная предпосылка эконометрического анализа

Суть основной предпосылки построения эконометрической модели состоит в возможности разбиения Y на две части : объясненную и случайную:

. (1.1)

Объясненная часть случайной величины , формируется вариацией вектора независимых переменных ;

E – случайная составляющая (остаток).

Если случайная величина Y непрерывна, то объясненная часть представляет собой некоторую неизвестную непрерывную функцию от регрессоров :

(1.2)

Естественной аппроксимацией (описанием) случайной функции является оценка:

(1.3)

М[Х½х₁, х₂,… х_n, ] - среднее значение случайной функции , т.е. условное математическое ожидание, полученное при условии, что вектор независимых переменных принял конкретное (фиксированное) значение:

Здесь и далее большими буквами X, Y будет обозначаться текущее значение случайных величин, а малыми буквами, x, y их конкретные (количественные) реализации.

В некоторых книгах используют более компактное обозначение:

(1.4)

Тогда основную предпосылку построения эконометрической модели можно записать так:

Y = М_х(Y) + E_. (1.5)

Уравнение

Y_e = М_х(Y) = j (х₁, х₂, …,х_j,…, х_n) (1.6)

называется уравнением регрессии. Заметим, что вид истинной функции в уравнении (1.6) нам пока неизвестен.

Замечание: Эконометрическая модель (1.6) не всегда является регрессионной, т.е. объясненная часть случайной величины не всегда равна своему условному математическому ожиданию:

Y_e ¹ М_х(Y).

Пример: Пусть независимые переменные измерены с систематическими ошибками. Тогда неизвестная нам случайная функция в наблюдениях будет деформирована (искажена). В эконометрике это встречается часто. Существуют специальные методы борьбы с этим неприятным обстоятельством, которые будут рассмотрены ниже.

Критерием того, что модель (1.6) является регрессионной, является условие М_х(E) = 0. Действительно, записав основную предпосылку эконометрического анализа (1.5), вычислим математическое ожидание от обеих частей уравнения:

М_х(Y) = М_х [М_х(Y)] + М_х(E);Þ

Þ М_х(E) = 0

Условие (1.6) является наиболее существенным условием получения качественной модели. Статистически это условие означает отсутствие систематического смещения наблюдений , относительно линии (или поверхности в многомерном случае) регрессии.