4.3. Понятие случайного процесса
Стационарные временные ряды
P1>P2>P3 и т.д. – реализации случайного процесса
Случайный процесс (или случайная функция) неслучайного аргумента t – это функция, которая при любом t является случайной величиной.
Определение 1: {Yt} называется строго стационарным (стационарным в узком смысле), если в различных временных срезах t=var выполнено два условия:
1. Вид закона распределения случайных величин Y один и тот же (например – нормальный закон распределения);
2. Числовые параметры закона распределения (числовые характеристики) одинаковы:
M(Y(t))=a=const; D[Y(t]=s 2= const.
Определение 2: Если выполнено только условие 2 то временные ряды называются стационарными в широком смысле или эргодическими. Другими словами, эргодический случайный процесс протекает однородно по времени.
Замечание: В дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика» показано, что «выборочные оценки вероятностных характеристик эргодического процесса могут быть вычислены по одной фиксированной реализации для наблюдений в разные моменты времени {Уt}, р=const.
(4.2)
Пример стационарного случайного процесса – «белый шум», т.е. возмущения {Ei} при условии:
M[Ei]=0
M[Ei Ek]=0
Последнее условие означает отсутствие корреляции между возмущениями.
Если E~N(0;sE2), то шум нормальный (гауссовский) белый.
4.4. Понятие о коэффициенте корреляции во временном ряде. Автокорреляционная функция (акф)
Степень тесноты связи между последовательными уровнями временного ряда У1, У 2…, У n и сдвинутыми на временной лаг t уровнями У 1+t, У 2+t…, У n+t (t-измеряется с помощью коэффициента автокорреляции.
Его генеральное (теоретическое) значение определяется по формуле:
(4.3)
Здесь благодаря свойству эргодичности временного ряда, которое постулируется:
(4.4)
Термин «автокорреляция» означает что V(t) измеряет корреляцию между членами одного и того же временного ряда.
При изменении лагового сдвига t (t=1,2,3,…) получим функцию V(t) называемую автокорреляционной функцией (АФК.)
Автокорреляционная функция V(t) не зависит от времени t, а зависит только от t, причем
V(-t) = V(t)
4.5. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции для числа степеней свободы
Так как для первых моментов времени вплоть до t=t V(t) не определено (рис. 4.2), то для числа степеней свободы вместо N имеем (N-t).
Например при t=2. Тогда V(t) можно вычислить только начиная с t=3,4,…… 6.
(4.5)
График r(t) при t=var называется коррелограммой, т.е. это выборочная оценка автокорреляционной функции.
Обычно берут t£N/4 или N³4t.
4.6. Частный коэффициент автокорреляции
Частный коэффициент автокорреляции есть числовая мера корреляционной связи между Уt и Уt+t при условии устранения (элиминирования) влияния промежуточных членов между Уt и Уt+t
Свойства:
1). r(t)=r (-t) – следствие эргодичности.
2). Наличие отрицательных значений r(t) говорит о наличие колебательных процессов в Y(t).
3). r (t) – затухает (ослабляется последствие) , т.е. амплитуда r(t) затухает по мере увеличения лагового сдвига t.